電磁気学の基礎 I （その37） 9.1, 9.2, 9.3, 9.4

　9.1節．ローレンツはローレンツ力の発見者ではない．ローレンツ力と呼ぶ根拠はないらしい．

　9.2節．導線に流れる電流にはたらくローレンツ力が，ホール効果によって導線の正電荷にかかるクーロン力に変換され，導線が動く．

　P206の一番下の式の右辺は， $v > 0$ と定義するならば負号がつく．電流は $+z$ 軸方向に流れるので電子は $-z$ 軸方向に運動する．磁場の向きは方位角方向なので，電場 $\mathbf{E}_{\rm H}$ は図9.3の通り軸の中心に向かう．

　9.3節．ローレンツ力のもとでの運動方程式(9.6)をベクトルポテンシャルに書き直すと場の運動量が見えてくるのは面白い．

　9.4節．(9.15)はエネルギー保存則から

$\begin{align} v_0^2=v_{0x}^2+v_{0y}^2+v_{z0}^2 = v_x^2+v_y^2+v_z^2 = v_x^2 + v_y^2 \end{align}$

となることよって得られる．

　(9.17)からエネルギー $\epsilon_\perp$ は

$\begin{align} \epsilon_\perp &= \frac{1}{2m}\left(p_x-\frac{1}{2}eBy\right)^2 + \frac{1}{2m}\left(p_y+\frac{1}{2}eBx\right)^2 \\ &=\frac{1}{2m}\left(m \omega_c Y-eBy\right)^2 + \frac{1}{2m}\left(eBx-m\omega_c X\right)^2 \\ &= \frac{m\omega_c^2}{2} \{ (Y-y)^2+(x-X)^2 \} \\ &= \frac{m\omega_c^2}{2} \frac{v_x^2+v_y^2}{\omega_c^2} = \frac{m\omega_c^2}{2} \frac{v_0^2}{\omega_c^2} = \frac{m\omega_c^2 a_c^2}{2} \end{align}$

になる．

　P212最初の式は

$\begin{align} \frac{dl_z^{\rm mech}}{dt} &= mv_x v_y + mx \dot{v}_y - mv_y v_x -my\dot{v}_x \\ &= mx \dot{v}_y -my\dot{v}_x \\ &= m\omega_c (xv_x+yv_y) = \frac{1}{2}m \omega_c \frac{d(x^2+y^2)}{dt} \\ &= \frac{1}{2}m \omega_c \frac{d\rho^2}{dt} \end{align}$

による．

　電子の正準角運動量は(9.18)の下の式で与えられ，

$\begin{align} (\mathbf{z}\times\mathbf{A})_z=\frac{1}{2}B(x^2+y^2)=\frac{1}{2}B\rho^2\end{align}$

であるので，

$\begin{align} l_z = l_z^{\rm mech} - \frac{1}{2}eB\rho^2 = l_z^{\rm mech} -\frac{1}{2}m\omega_c^2 \rho^2\end{align}$

となり，正準角運動量は(9.18)左辺であることがわかる．保存量であるので正準角運動量を初期値を使って

$\begin{align} l_z = m(x_0 v_{y0}-y_0 v_{x0}) - \frac{1}{2}eB(x_0^2+y_0^2)\end{align}$

と表し

$\begin{align} X^2 + Y^2 = x_0^2+y_0^2 + \frac{v_{x0}^2+v_{y0}^2}{\omega_c^2} -\frac{2}{\omega_c}(x_0 v_{y0}-y_0 v_{x0})\end{align}$

により

$\begin{align} m(x_0 v_{y0}-y_0 v_{x0}) &= \frac{m\omega_c}{2}(x_0^2+y_0^2) +\frac{m(v_{x0}^2+v_{y0}^2)}{2\omega_c}-\frac{m\omega_c}{2}(X^2+Y^2) \\ &= \frac{eB}{2}(x_0^2+y_0^2)+\frac{eB v_{0}^2}{2\omega_c^2}-\frac{eB}{2}(X^2+Y^2) \end{align}$

を使うと

$\begin{align} l_z = \frac{1}{2}eBa_c^2 -\frac{eB}{2}(X^2+Y^2) \end{align}$

を得る．