電磁気学の基礎 I （その32） 7.7.5, 7.8, 7.9

「電磁気学の基礎 I」太田浩一著 (シュプリンガージャパン) の読書メモ

　7.7.5節．環状電流の積み重ねということで，(7.38)の磁場を使うとP166最初の式に，積分は(2.9)が使えて次の式になる． $l$ が小さいときは(2.10)の下の式を求めたのと同じ方法で(7.39)の上の式を得る． $l$ が大きいときは(2.12)を求めたのと同じ方法で(7.39)を得る．

　ソレノイド内部で一様な磁場であることを示す．与えられた設定で

$\begin{align} |\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3= \{ \rho^2+a^2-2\rho a \cos\varphi'+z'^2\}^{3/2} \end{align}$

であるから(7.15)より

$\begin{align} \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int dS' \mathbf{K}(\mathbf{x}')\times \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3} \end{align}$

を計算する． $x, y$ 成分は $z'$ について奇関数なので $z'$ 積分によって消える． $z$ 成分はP167の最初の式になる．この積分はP32の一番下の式と同型であるから $z'$ 積分によってP167の最初の式の2段目を得る．さらに(2.14)を使って(2.16)を得たのと同様にして(7.40)を得る．

　(7.33)で $\mu_0 J_z$ を $B_z$ に変えれば(7.41)の上の式が成り立つ．これにソレノイドの磁場 $B_z(\rho)=B\theta(a-\rho)$ を代入すると(7.41)になる．ソレノイド内部で

$\begin{align} \mathbf{B}\times\mathbf{x}= (0, 0, B)\times (x, y, z)=B(-y, x, 0)=B \rho(-\sin\varphi, \cos\varphi, 0) = B \rho \mathbf{e}_{\varphi} \end{align}$