電磁気学の基礎 I （その41） 10.3, 10.4, 10.4.1, 10.4.2

　10.3節．P240の最初の式は(5.2)と同型である．(10.9)の下の式は

$\begin{align} &\ \mathbf{x}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{M})+\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{x}\mathbf{M})-\pmb{\nabla}(\mathbf{x}\cdot\mathbf{M}) \\ &=(\pmb{\nabla}\mathbf{M})\cdot\mathbf{x}-\mathbf{x}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{M}+\mathbf{M}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{x}+\mathbf{x}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{M}-(\pmb{\nabla}\mathbf{x})\cdot\mathbf{M}-(\pmb{\nabla}\mathbf{M})\cdot\mathbf{x} \\ &=3\mathbf{M}-\mathbf{M} = 2\mathbf{M} \end{align}$

により確かめられる．P241の最初の式を示す．左辺は

$\begin{align} (\mathbf{M}\times\pmb{\nabla})\times\mathbf{B}=(\pmb{\nabla}\mathbf{B})\cdot\mathbf{M}-\mathbf{M}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B} \end{align}$

であり，右辺は

$\begin{align} & (\pmb{\nabla}\times\mathbf{M})\times\mathbf{B}+\pmb{\nabla}(\mathbf{M}\cdot\mathbf{B})-\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{B}\mathbf{M}) \\ &= \mathbf{B}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{M}-(\pmb{\nabla}\mathbf{M})\cdot\mathbf{B}+(\pmb{\nabla}\mathbf{M})\cdot\mathbf{B}+(\pmb{\nabla}\mathbf{B})\cdot\mathbf{M}-(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B})\mathbf{M}-\mathbf{B}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{M} \\ &=(\pmb{\nabla}\mathbf{B})\cdot\mathbf{M}-(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B})\mathbf{M} \end{align}$

となるので一致する．続いて(10.11)の下の式の右辺も

$\begin{align}&\ -(\pmb{\nabla}\cdot \mathbf{B})\mathbf{M}+\mathbf{M}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{B})-(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{M})\mathbf{B}+\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{M}\mathbf{B}) \\ &= -(\pmb{\nabla}\cdot \mathbf{B})\mathbf{M}+(\pmb{\nabla}\mathbf{B})\cdot \mathbf{M}-\mathbf{M}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{B} -(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{M})\mathbf{B}+(\pmb{\nabla}\cdot \mathbf{M}) \mathbf{B}+\mathbf{M}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{B} \\ &= -(\pmb{\nabla}\cdot \mathbf{B})\mathbf{M}+(\pmb{\nabla}\mathbf{B})\cdot \mathbf{M}\end{align}$

となり左辺に一致する．

　10.4節．「磁性体がある場合，伝導電流の磁気モーメントを考慮しないのが普通」これで8.3節で感じた疑問が解決した．また(10.20)は $\mathbf{H}$ によって磁荷をベースにした量であることがわかる．磁荷電流密度をベースにした $\mathbf{B}$ の表式(10.15)と等価な内容なので，磁荷密度と磁化電流密度は同時には現れない．これは(10.10)と(10.11)の関係からもわかる． $\mathbf{H}$ の意味が少しわかってきた気がするが，磁荷密度，磁荷電流密度，磁位など複雑な関係である．

　10.4.1節．(10.26)の第2, 3, 4式が $\mu, \mu_{\rm r}, \chi_{\rm m}$ の定義であろうか．そうであれば第1式はこれらから導かれる．まず $\mathbf{H}=(1-\chi'_{\rm m})\mathbf{B}/\mu_0$ であり， $(1-\chi'_{\rm m})/\mu_0=1/\mu$ となるので(10.26)第1式を得る．

　円柱状磁性体の磁場を求めるには，磁化がある場合のアンペールの回路定理(10.16)を使う．これは $B-\mu_0 M$ についてのアンペールの回路定理だと思えばよいので， $\rho < a$ のときの表式 $2\pi\rho B_\varphi=\mu_0(\rho/a)^2 I + 2\pi \rho\mu_0 M_\varphi$ を得る．この右辺第1項は，半径 $\rho ( < a)$ の円柱内を流れる電流が

$\begin{align} \frac{I}{\pi a^2}\cdot \pi \rho^2 = \left(\frac{\rho}{a}\right)^2 I \end{align}$

であることによる． $M_\varphi$ を(10.27)によって $B_\varphi$ で表すと， $B_\varphi = \mu_0 I \rho/2\pi a^2$ になる．これと $\rho > a$ の場合とを合わせるとP245の下から2番目の第1式を得る．この式から(10.27)を使うとP245の下から2番目の第2式を得る．

　 $\mathbf{H}$ に対するアンペールの定理(10.21)を使うと， $\rho > a$ のとき $2\pi\rho H_\varphi = I$ ， $\rho < a$ のときは $2\pi\rho H_\varphi = (\rho/a)^2 I$ となるからP245の一番下の式を得る．これはまた

$\begin{align} \frac{1}{\mu_0}B_\varphi-M_\varphi = \left(\frac{\mu}{\mu_0}-\chi_{\rm m}\right)\frac{I \rho}{2\pi a^2}\theta(a-\rho)+\frac{I}{2\pi \rho}\theta(\rho-a) = H_\varphi \end{align}$

からも得られる．

　10.4.2節． $\mathbf{A}^M$ や $\phi_{\rm m}$ の積分は3.2.1節で出てきたものと同じである．