電磁気学の基礎 I （その21） 4.6, 4.7

　4.6節． $\langle\phi\rangle$ は4.4.1節のものと同じ定義．右辺の面積分は(3.6)で計算した．

$\begin{align} \langle\phi\rangle &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int dV' \varrho(\mathbf{x}')\frac{\theta(r'-a)}{r'} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0 a}\int dV' \varrho(\mathbf{x}') \theta(a-r') \\\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int dV' \varrho(\mathbf{x}')\frac{\theta(r'-a)}{r'} + \frac{q_{\textrm{in}}}{4\pi\epsilon_0 a} \end{align}$

球内に電荷がなければ階段関数を $\theta(r')$ にできるので，ガウスの平均値定理の式になる．

　4.7節．最初からつまづく． $-q$ が電場 $E/2$ をつくり， $q$ がその電場から受ける力は $qE/2$ であるはずだが，(4.47)には負号がついている．この負号の意味がわからない．しかたがないので自分で設定を決める． $z=0$ に $-q$ の極板， $z=l$ に $q$ の極板をおく．電場は $E=-\sigma/\epsilon_0 = -q/\epsilon_0 S$ になる．電場が負なのは $-z$ 軸方向（下向き）であることを意味する． $-q$ が電場 $E/2$ をつくるので， $q$ が電場から受ける力は

$\begin{align} F=q\cdot\frac{1}{2}E=-\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 S \end{align}$

である． $q$ の極板には下向きの力がかかる．この極板に外力を与えて上向きに $dl$ だけ変化させる．このときに必要な仕事は

$\begin{align} W=-F dl =\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 Sdl \end{align}$

である．以下本文と同じ．

　電池をつないだ場合も上の設定で考える． $E<0$ であるから， $-q$ の極板の位置を $\phi(0)=0$ とすると， $q$ の極板の電位は $\phi=-E l$ である． $\phi$ 一定として微分すると $dE=\phi dl/l^2$ であるので，極板が $dl$ だけ上に移動することで電荷が $dq=-\epsilon_0 \phi S dl/l^2$ だけ増加する．つまり電荷は減少する．これからP101と同じ $W^{\mathrm elect}$ を得る．この式の説明もわかりにくいが，負なので電池に仕事をしていることになるのだろう．外力による仕事で電場のエネルギーが増えるが，その2倍のエネルギーを電池に与えているので，トータルの電場のエネルギーは外力の仕事分だけ減る，というのが(4.48)の意味だろうか．

　以下は J. Vanderlinde, "Classical Electromagnetic Theory" 2nd ed., (Kluwer 2004) による説明．電池をつないでいない場合，電荷は一定であり，力 $F$ によって導体が $d\xi$ だけ動くと，その力がした仕事は $Fd\xi$ である．系はこの仕事の分のエネルギーを失う．