電磁気学の基礎 I （その23） 4.8.3, 4.8.4

　4.8.3節．円筒電荷がつくる電場は(2.16)，電位は(3.17)．電気容量は(4.33)．図4.9を $z$ 軸の上側から見た図．

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　側面にかかる力について， $\varphi=-\psi$ の面に対し

$\begin{align} & \int dS\left(n_{x} T_{x x}+n_{y} T_{y x}\right) \\ &= \frac{\lambda^{2}}{8 \pi^{2} \epsilon_{0} } \bigg\{ -\sin(\psi)(\cos^2(-\psi)-\sin^2(-\psi)) \\ &\quad -2\cos(\psi)\cos(-\psi)\sin(-\psi)\bigg\} \int_{\rho_1}^{\rho_2} \frac{d\rho}{\rho^2} \\ &= \frac{\lambda^{2}}{8 \pi^{2} \epsilon_{0} } \bigg\{ -\sin(\psi)(\cos^2(\psi)-\sin^2(\psi)) \\ &\quad +2\cos^2(\psi)\sin(\psi)\bigg\} \int_{\rho_1}^{\rho_2} \frac{d\rho}{\rho^2} \\ &= \frac{\lambda^{2}}{8 \pi^{2} \epsilon_{0} } \sin(\psi) \int_{\rho_1}^{\rho_2} \frac{d\rho}{\rho^2} \end{align}$

となり， $\varphi=\psi$ の面に対しても同じ結果になる．

　 $\psi$ が小さいとき

$\begin{align} F_1+F_2=-F &= \frac{\lambda^{2}\psi}{4 \pi^{2} \epsilon_{0} }\left(\frac{1}{\rho_2}-\frac{1}{\rho_1}\right) \\ -T_1 S_1+T_2 S_2 &= \frac{1}{2}\epsilon_0 (E_2^2 S_2-E_1^2 S_1) \\ &= \frac{\lambda^2}{8\pi^2 \epsilon_0}\left(\frac{2\rho_2\psi}{\rho_2^2}-\frac{2\rho_1\psi}{\rho_1^2}\right) \\ &= \frac{\lambda^{2}\psi}{4 \pi^{2} \epsilon_{0} }\left(\frac{1}{\rho_2}-\frac{1}{\rho_1}\right) \end{align}$

により両者は等しい．また $E_1 S_1=E_2 S_2$ より

$\begin{align} F&=T_1 S_1-T_2 S_2=\frac{1}{2}\epsilon_0 (E_1^2 S_1-E_2^2 S_2)=\frac{1}{2}\epsilon_0 E_1^2\frac{S_1}{S_2}(S_2-S_1) \end{align}$

であり， $S_2-S_1=2\psi(\rho_2-\rho_1)$ が微小であれば $\rho_1/\rho_2=1$ と近似でき， $F=P(S_2-S_1), P=\epsilon_0 E_1^2/2$ となる．

　4.8.4節．面上の位置と $q_1$ との距離は

$\begin{align} \sqrt{\frac{r^2}{4}+\rho^2}=\frac{r}{2}\sqrt{\tan^2\theta+1}=\frac{r}{2\cos\theta} \end{align}$

であり， $q_2$ との距離も同じ．これから電場と応力を得る．力の計算は

$\begin{align} F_z &= \int dS n_z T_{zz} \\ &= -\frac{1}{8\pi^2\epsilon_0r^2} \int_0^{\pi/2} d\theta\int_0^{2\pi} d\varphi \frac{ (q_1-q_2)^2\cos^6\theta - (q_1+q_2)^2 \cos^4\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta}\tan\theta \\ &= -\frac{1}{4\pi\epsilon_0r^2} \int_0^{\pi/2} d\theta \{ (q_1-q_2)^2\cos^3\theta\sin\theta - (q_1+q_2)^2 \cos\theta \sin^3\theta\} \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0r^2} \frac{(q_1-q_2)^2 \cos^4 \theta-(q_1+q_2)^2\sin^4\theta}{4}\bigg|_0^{\pi/2} \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0r^2} \frac{-(q_1-q_2)^2 +(q_1+q_2)^2}{4} \\ &= \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r^2} \end{align}$

によって得られる．