電磁気学の基礎 I （その20） 4.5.3, 4.5.4

　4.5.3節． $c_{ij}=(p^{-1})_{ij}$ を使って(4.42)を得る．

　直線電荷がつくる電位は(3.14)を使う． $\rho_{1,2}=\sqrt{(x\mp d/2)^2+y^2}$ として等電位面を求めると，P96の真ん中あたりの式 $a=\cdots$ を得る．この式を $k$ について解くと $k_{1,2}$ の式を得る． $k_1k_2=1$ であることから， $k_1>1, k_2<1$ であり， $\rho_2/\rho_1=k_1$ の円筒の中心は $(l/2,0)$ ， $\rho_2/\rho_1=k_2$ の円筒の中心は $(-l/2,0)$ にある．

　4.5.4節．半径 $a$ の球殻電荷がつくる電位は(3.6)だった．総電荷が $q$ の場合， $q=4\pi a^2\sigma$ であるのでP97の最初の式を得る．(4.44)は(4.42)を使って得られる．

　キャベンディッシュの実験について．電位は

$\begin{align} \phi(r)&=\frac{q a^2}{4 \pi a^2} \int_{0}^{\pi} d \theta \sin \theta \int_{0}^{2 \pi} d\varphi u(R)\\ &=\frac{q}{2} \int_{-1}^1 dt u(\sqrt{a^2+r^2-2art}) ,\quad(t=\cos\theta) \\ &=-\frac{q}{2ar} \int_{r+a}^{|r-a|} dR R u(R) \\ &=\frac{q}{2 a r}\{f(r+a)-f(|r-a|)\} \end{align}$

になる．球内部で $\phi(r)$ が一定になるためには， $f(r+a)-f(|r-a|)$ が $r$ に比例していなければらない．もし $f(R)$ が $R$ の2次関数の場合

$\begin{align} f(R)=k_2R^2+k_1 R+ k_0 \end{align}$

とおくと， $r< a$ で

$\begin{align} f(r+a)-f(|r-a|) &=4k_2 a r + 2k_1 r \end{align}$

となり条件を満たす．(3次関数を仮定すると $r^2$ の項が残るので矛盾する．) 半径 $a$ の球殻電荷 $q_1$ のつくる電位 $\phi_1(r)$ は

$\begin{align} \phi_1(r)=\frac{q_1}{2ar}\{f(r+a)-f(|r-a|)\} \end{align}$

半径 $b$ の球殻電荷 $q_2$ のつくる電位は

$\begin{align} \phi_2(r)=\frac{q_2}{2br}\{f(r+b)-f(|r-b|)\} \end{align}$

であるから，球殻 $a, b$ につくられる電位は

$\begin{align} \phi(a)&=\phi_1(a)+\phi_2(a)=\frac{f(2a)-f(0)}{2a^2}q_1+\frac{f(a+b)-f(b-a)}{2ab}q_2 \\ \phi(b)&=\phi_1(b)+\phi_2(b)=\frac{f(a+b)-f(b-a)}{2ab}q_1+\frac{f(2b)-f(0)}{2a^2}q_2 \end{align}$

となる．よって電位係数はP97の一番下の式のようになる．

　2つの導体球を導線でつなぐと等電位になり $\phi(a)=\phi(b)=\phi_0$ になる．

$\begin{align} \phi_0 &= p_{11} q_1 + p_{12} q_2 = p_{12} q_1 + p_{22} q_2 \end{align}$

から $q_2$ を消去すると(4.45)を得る．次に1, 2を絶縁し，2を接地して電位を0にする． $q_2$ は $\phi(b)=0$ になるように変化する．

$\begin{align} \phi(b)= p_{21} q_1 + p_{22} q_2 = 0, \quad q_2=-\frac{p_{21}}{p_{22}}q_1 \end{align}$

このとき1につくられる電位は

$\begin{align} \phi(a) &= p_{11} q_1 + p_{12} q_2 \\ &= \left( p_{11}-\frac{p_{21}^2}{p_{22}} \right) q_1 \\ &= \left( p_{11}-\frac{p_{21}^2}{p_{22}} \right) \frac{p_{22}-p_{21}}{p_{11}p_{22}-p_{21}^2} \phi_0 \\ &= \left( 1-\frac{p_{21}}{p_{22}}\right) \phi_0 \\ &= \left\{1-\frac{b}{a} \frac{f(a+b)-f(b-a)}{f(2 b)-f(0)}\right\} \phi_{0} \label{190824-5} \end{align}$

となる．逆2乗則が少しずれた場合， $\phi(a)/\phi_0$ が0にならない． $x^{-\delta}\cong 1-\delta \ln x$ を使って $\delta$ の1次まで求めると

$\begin{align} \frac{\phi(a)}{\phi_{0}}&=1-\frac{b}{a} \left\{ \left(\frac{a+b}{2 b}\right)\left(1-\delta\ln\frac{a+b}{2 b}\right)-\left(\frac{b-a}{2 b}\right)\left(1-\delta\ln\frac{b-a}{2 b}\right) \right\} \\ &= \frac{\delta}{2}\left\{ \left( \frac{a+b}{a} \ln \frac{a+b}{2 b} \right) -\left(\frac{b-a}{a}\ln\frac{b-a}{2 b}\right) \right\} \\ &= -\frac{1}{2} \delta\left(\ln \frac{4 b^{2}}{b^{2}-a^{2}}-\frac{b}{a} \ln \frac{a+b}{b-a}\right) \end{align}$

となり，本の表式と符号が合わない．誤植？