電磁気学の基礎 II （その38） 17.7.3

　17.7.3節． $[\phi, N]=-i$ のとき，キャンベル・ベーカー・ハウスドルフの公式を使うと

$\begin{align} e^{i\phi}Ne^{-i\phi} = N + [i\phi, N] = N+1 \end{align}$

になる．

　 $N=a^\dagger a$ の固有状態 $|n\rangle$ は

$\begin{align} |n\rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^n |0\rangle,\quad a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle, \quad a|n\rangle =\sqrt{n}|n-1\rangle \end{align}$

$\begin{align} \langle n|a = \sqrt{n+1}\langle n+1| \end{align}$

などの性質をもつ．また

$\begin{align} \langle N \rangle \equiv \langle \alpha |N|\alpha \rangle = \langle \alpha|a^\dagger a|\alpha \rangle = |\alpha|^2 \end{align}$

及び

$\begin{align} \langle n|a|\alpha \rangle = \alpha \langle n|\alpha\rangle \end{align}$

であるが，

$\begin{align} \langle n |a|\alpha\rangle = \sqrt{n+1}\langle n+1|\alpha\rangle \end{align}$

でもあるので，

$\begin{align} \langle n+1|\alpha\rangle = \frac{\alpha}{\sqrt{n+1}}\langle n|\alpha\rangle \end{align}$

が成り立つ．これを繰り返し使うと

$\begin{align} \langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha}{\sqrt{n}}\langle n-1|\alpha \rangle = \frac{\alpha^2}{\sqrt{n(n-1)}}\langle n-2|\alpha\rangle = \cdots = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\langle 0|\alpha\rangle \end{align}$

となる．これから

$\begin{align} |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty |n\rangle\langle n|\alpha\rangle = \langle 0|\alpha\rangle \sum_{n=0}^\infty |n\rangle \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} = \langle 0|\alpha\rangle \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n (a^\dagger)^n}{n!}|0\rangle = \langle 0|\alpha\rangle e^{\alpha a^\dagger}|0\rangle \end{align}$

となる．この3番目の式を使うと，規格化条件

$\begin{align} \langle \alpha|\alpha\rangle = |\langle 0|\alpha\rangle|^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} = |\langle 0|\alpha\rangle|^2 e^{|\alpha|^2} = 1 \end{align}$

により

$\begin{align} \langle 0|\alpha\rangle = e^{-|\alpha|^2/2} \end{align}$

となる．よって

$\begin{align} |\alpha\rangle = e^{\alpha a^\dagger -|\alpha|^2/2} |0\rangle \end{align}$

となる．これを使うと

$\begin{align} \langle n|\alpha\rangle = e^{-|\alpha|^2/2} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} \end{align}$

であるので，コヒーレント状態で粒子数が $n$ である確率は

$\begin{align} P(n) = |\langle n|\alpha\rangle|^2 = e^{-|\alpha|^2} \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} = e^{-\langle N\rangle}\frac{\langle N\rangle^n}{n!} \end{align}$

となる．これはポアソン分布である．

　 $N, \phi$ を期待値の周りで展開して $\delta N=N-\langle N \rangle, \delta \phi=\phi-\langle \phi \rangle$ の2次まで残す．

$\begin{align} \langle \alpha |a |\alpha\rangle = e^{i\phi}\sqrt{N} = e^{i\langle\phi\rangle}\sqrt{\langle N\rangle} \left\langle \alpha\left| 1- \frac{1}{2}(\delta\phi)^2-\frac{1}{8\langle N\rangle^2}(\delta N)^2 +\frac{i}{2\langle N\rangle}\delta\phi \delta N \right| \alpha\right\rangle \end{align}$

これは $e^{i\phi}\sqrt{N}$ を $\delta N=0, \delta \phi=0$ のまわりに展開すれば得られる．1次の揺らぎは期待値を取れば相殺して消えることを使った．( $\langle \delta N \rangle = \langle N-\langle N\rangle \rangle = 0$ )

$\begin{align} \delta \phi \delta N = [\delta \phi, \delta N]+\delta N \delta \phi = -i + \delta N \delta \phi \end{align}$

より

$\begin{align} \delta \phi \delta N = \frac{\delta \phi \delta N + \delta N \delta \phi -i}{2} \end{align}$

となる． $\langle \alpha|a|\alpha\rangle = \alpha = e^{i\theta}\sqrt{\langle N\rangle}$ と比べると（なぜ $e^{i\langle\phi\rangle}\sqrt{\langle N\rangle}$ ではないのか？)

$\begin{align} - \frac{1}{2}(\Delta\phi)^2-\frac{1}{8\langle N\rangle^2}(\Delta N)^2 +\frac{1}{4\langle N\rangle}=0 \end{align}$

$\begin{align} \theta = \langle\phi \rangle + \frac{1}{4\langle N\rangle}\langle \alpha|\delta\phi\delta N+\delta N \delta\phi|\alpha\rangle \end{align}$