電磁気学の基礎 II （その33） 17.3, 17.4

　
　17.3節．P537．(17.11)を $\beta=1/(k_BT)$ で微分する.

$\begin{align} \frac{\partial P(\varepsilon_n)}{\partial \beta}&=-\varepsilon_n P(\varepsilon_n) +\varepsilon e^{-\beta(\varepsilon+\varepsilon_n)} \\ &= -\varepsilon_n P(\varepsilon_n) + \frac{\varepsilon e^{-\beta\varepsilon}}{1-e^{-\beta \varepsilon}}P(\varepsilon_n) \\ &= (-\varepsilon_n+E)P(\varepsilon_n) \end{align}$

から，

$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n (-\varepsilon_n+E) P(\varepsilon_n) = \frac{\partial E}{\partial \beta} \end{align}$

となる．左辺は $\langle 1 \rangle =1, \langle \varepsilon_n \rangle =E$ を使うと

$\begin{align} -\sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n (\varepsilon_n-E) P(\varepsilon_n) = -\sum_{n=0}^\infty (\varepsilon_n-E)^2 P(\varepsilon_n) \end{align}$

となるので，

$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty (\varepsilon_n-E)^2 P(\varepsilon_n) = -\frac{\partial E}{\partial \beta} = \frac{\varepsilon^2 e^{\beta\varepsilon}}{(e^{\beta\varepsilon}-1)^2} = E (\varepsilon +E) \end{align}$

$\Delta E^2 = \varepsilon E+E^2$ となる． $\Delta n^2= \delta E^2/n^2$ とすると， $E/\varepsilon = \langle n\rangle$ を使って $\Delta n^2 = \langle n\rangle+\langle n\rangle^2$ となる．また， $z=e^{-\beta \varepsilon}$ とおくと

$\begin{align} \Delta E^2 = \frac{\varepsilon^2 z^{-1}}{(z^{-1}-1)^2} = \frac{\varepsilon^2 z}{(1-z)^2} = \varepsilon^2 z + 2\varepsilon^2 z^2 + e\varepsilon^2 z^3 +\cdots \end{align}$

である．本では $\varepsilon$ の指数が違う．

　コンプトン散乱について，まず(17.15)から $\psi$ を消去する．

$\begin{align} \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\right)^2 - \frac{2h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta = \frac{m^2v^2}{1-v^2/c^2} \end{align}$

(17.14)を変形して

$\begin{align} \frac{v^2}{c^2}=1-m^2c^2 \left( \frac{h}{\lambda}+mc - \frac{h}{\lambda'} \right)^{-2} \end{align}$

となるので，これらから

$\begin{align} \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\right)^2 - \frac{2h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta = \frac{v^2}{c^2} \left( \frac{h}{\lambda}+mc - \frac{h}{\lambda'} \right)^2 \end{align}$

を得る．この式と(17.14)を使って $v^2$ を消去すると

$\begin{align} \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\right)^2 - \frac{2h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta = \left( \frac{h}{\lambda}+mc - \frac{h}{\lambda'} \right)^2 -m^2c^2 \end{align}$

となり，整理すると $\lambda'-\lambda$ の式になる．

　17.4節．(17.17)の両辺を時間で微分し

$\begin{align} \dot{r}=\frac{2r^2}{k_e e^2}\dot{\varepsilon} \end{align}$

ラーモアの公式(14.24)を使う． $\dot{v}$ に相当するのは遠心力による加速度 $v^2/r$ であるので，

$\begin{align} \dot{r}=-\frac{2r^2}{k_e e^2} \frac{\mu_0 e^2}{6\pi c}\left(\frac{k_e e^2}{mr^2}\right)^2 =- \frac{\mu_0 k_e e^4}{3 \pi c m^2 r^2} \end{align}$

となり， $\alpha$ を使うとP539の2番目の式になる．負号は減少を表している．

　P540．加速度の式と量子条件から

$\begin{align} r = \frac{k_e e^2}{m}\frac{n^2\hbar^2}{k_e^2 e^4} = \frac{n^2 \hbar^2}{m k_e e^2} = \frac{n^2 \hbar}{mc\alpha}= n^2 a_0 \end{align}$

となり， (17.17)から

$\begin{align} \varepsilon_n = -\frac{k_e e^2}{2r} = -\frac{\hbar c\alpha}{2r} = -\frac{\hbar c\alpha}{2}\frac{mc\alpha}{n^2\hbar} =-\frac{mc^2\alpha^2}{2n^2} \end{align}$

であるから，リュードベルイ定数の表式を得る． $n$ が大きいとき

$\begin{align} \nu = Rc\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right) = RC \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}\cong \frac{2Rc}{n^3} = -\frac{2\varepsilon}{nh} \end{align}$