電磁気学の基礎 II （その49） 18.15

　この節からアブラハム-ミンコフスキー論争に関係する話題であるが，残念ながら詳細は知らない．この本はアブラハムを支持しているようである．

　(18.39)を満たす $u, \mathbf{S}$ がそれぞれ(18.36), (18.38)で与えられた場合を考える．(18.36)は等温，等積であるので，(18.39)は

$\begin{align} \dot{u}+\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{S}=-\varphi \end{align}$

となる． $u, S$ の変換式が実際に成り立っているかどうか，(15.51)を使って確かめる．

$\begin{align} & u' + \mathbf{v}\cdot\mathbf{g}'+\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}' \\ &= \gamma^2 \left( u-\mathbf{v}\cdot\mathbf{g}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}-\frac{1}{c^2} \mathbf{v}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v}\right) \\ &\quad + \gamma^2 \left( \mathbf{v}\cdot \mathbf{g} + \frac{1}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v} -\frac{u v^2}{c^2}+\frac{v^2}{c^4}\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}\right) \\ &\quad +\frac{\gamma^2}{c^2}\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}+\mathbf{v}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v} -u v^2+v^2\mathbf{v}\cdot\mathbf{g}\right) \\ &= \gamma^2 \left( u -\frac{u v^2}{c^2}+\frac{v^2}{c^4}\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}\right) +\frac{\gamma^2}{c^2}\left(\mathbf{v}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v} -u v^2+v^2\mathbf{v}\cdot\mathbf{g}\right) \\ &= u + \frac{\gamma^2}{c^2} \left(\frac{v^2}{c^2} \mathbf{v}\cdot\mathbf{S} + \mathbf{v}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v} -v^2 u + v^2 \mathbf{v}\cdot\mathbf{g}\right) \end{align}$

右辺第1項の $u$ 以外は $v^2$ のオーダーなので， $v$ の1階微分であっても $\mathbf{v}=0$ によって消える．よってP602の最初の式の $u$ の関係式が成り立つ．次に $\mathbf{S}$ について

$\begin{align} &\ \mathbf{S}'-\mathsf{T}'\cdot\mathbf{v}+u'\mathbf{v} \\ &=\gamma\left(\mathbf{S}_\perp + \mathsf{T}_{\perp\;\parallel}\cdot\mathbf{v}\right) +\gamma^2\left(\mathbf{S}_\parallel+\mathsf{T}_{\parallel\;\parallel}\cdot\mathbf{v} -u\mathbf{v}+v^2\mathbf{g}_\parallel\right) \\ &\quad - \gamma\left( \frac{v^2}{c^2}\mathbf{S}_\perp +\mathsf{T}_{\perp\;\parallel}\cdot\mathbf{v}\right) -\gamma^2\left( \mathsf{T}_{\parallel\;\parallel}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{v}\mathbf{g}\cdot\mathbf{v} +\frac{v^2}{c^2}\mathbf{S}_\parallel -\frac{uv^2}{c^2}\mathbf{v}\right) \\ &\quad + \gamma^2 \left( u-\mathbf{v}\cdot\mathbf{g}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}-\frac{1}{c^2} \mathbf{v}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v}\right) \mathbf{v} \\ &=\gamma \mathbf{S}_\perp +\gamma^2\left(\mathbf{S}_\parallel +v^2\mathbf{g}_\parallel\right) - \gamma\left( \frac{v^2}{c^2}\mathbf{S}_\perp\right) -\gamma^2\left( \mathbf{v}\mathbf{g}\cdot\mathbf{v} +\frac{v^2}{c^2}\mathbf{S}_\parallel -\frac{uv^2}{c^2}\mathbf{v}\right) \\ &\quad + \gamma^2 \left( -\mathbf{v}\cdot\mathbf{g}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}-\frac{1}{c^2} \mathbf{v}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v}\right) \mathbf{v} \\ &= \frac{1}{\gamma}\mathbf{S}_\perp +\mathbf{S}_\parallel +\gamma^2\left( v^2\mathbf{g}_\parallel - 2\mathbf{v}\mathbf{g}\cdot\mathbf{v} -\frac{uv^2}{c^2}\mathbf{v} -\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}\mathbf{v} -\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v} \mathbf{v}\right) \end{align}$

であり，右辺第1, 2項以外は $v^2$ のオーダーなので， $v$ の1階微分でも $\mathbf{v}=0$ によって消える．また

$\begin{align} \frac{1}{\gamma}=1-\frac{2v^2}{c^2}+\cdots \end{align}$

なので右辺第1項も $\mathbf{S}_\perp$ としてよい．よってP602の最初の式の $\mathbf{S}$ の関係式も成り立つ．

　 $\mathbf{v}$ の1次のローレンツ変換から

\begin{align}
\mathbf{S}' &= ( \mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\times\left[ \frac{1}{\mu_0}\left(\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times\mathbf{E}\right) - (\mathbf{M}+\mathbf{v}\times\mathbf{P})\right] \\
&= ( \mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\times\left( \mathbf{H} - \epsilon_0\mathbf{v}\times\mathbf{E} -\mathbf{v}\times\mathbf{P} \right) \\
&= ( \mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\times\left( \mathbf{H} - \mathbf{v}\times\mathbf{D} \right) \\
&= \mathbf{E}\times\mathbf{H} -\mathbf{E}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{D})-\mathbf{H}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{B})
-(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{v}\times\mathbf{D})\\
&= \mathbf{E}\times\mathbf{H} + \mathbf{D}\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\mathbf{v}
+\mathbf{B}\mathbf{H}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\mathbf{v}
\end{align}

となる．最後の等式で $v^2$ のオーダーの項を落とした． $v$ の1次は後で $\pmb{\nabla}$ を取るので残す必要がある．粒子数保存則を使うと，

$\begin{align} \dot{u}' &= \mathbf{E}'\cdot\dot{\mathbf{D}}' + \mathbf{H}'\cdot\dot{\mathbf{B}}'+\frac{\pi'}{N'}\dot{N}' \\ &= (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot \left[ \epsilon_0 (\dot{\mathbf{E}}+\dot{\mathbf{v}}\times\mathbf{B} +\mathbf{v}\times\dot{\mathbf{B}})+\left(\dot{\mathbf{P}}-\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{v}}\times\mathbf{M} -\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times\dot{\mathbf{M}}\right) \right] \\ &\ +\left[ \frac{1}{\mu_0}\left(\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times\mathbf{E}\right) - (\mathbf{M}+\mathbf{v}\times\mathbf{P})\right] \cdot \left( \dot{\mathbf{B}}-\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{v}}\times\mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times\dot{\mathbf{E}}\right) \\ &\ -\frac{\pi'}{N'}\pmb{\nabla}\cdot N' \mathbf{v} \\ &= (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot \left[ \dot{\mathbf{D}} +\epsilon_0 (\dot{\mathbf{v}}\times\mathbf{B} +\mathbf{v}\times\dot{\mathbf{B}})-\frac{1}{c^2}\left(\dot{\mathbf{v}}\times\mathbf{M} +\mathbf{v}\times\dot{\mathbf{M}}\right) \right] \\ &\ +\left( \mathbf{H} -\epsilon_0 \mathbf{v}\times\mathbf{E} - \mathbf{v}\times\mathbf{P}\right) \cdot \left( \dot{\mathbf{B}}-\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{v}}\times\mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times\dot{\mathbf{E}}\right) -\frac{\pi'}{N'}\pmb{\nabla}\cdot N' \mathbf{v} \\ &= (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot \left[ \dot{\mathbf{D}} +\frac{1}{c^2} (\dot{\mathbf{v}}\times\mathbf{H} +\mathbf{v}\times\dot{\mathbf{H}}) \right] \\ &\ +\left( \mathbf{H} - \mathbf{v}\times\mathbf{D} \right) \cdot \left[ \dot{\mathbf{B}}-\frac{1}{c^2}(\dot{\mathbf{v}}\times\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\dot{\mathbf{E}})\right] -\frac{\pi'}{N'} \mathbf{v}\cdot\pmb{\nabla} N' -\pi' \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} \\ &= \mathbf{E}\cdot\dot{\mathbf{D}} + \mathbf{H}\cdot\dot{\mathbf{B}} -\frac{1}{c^2}\left[ \mathbf{E}\cdot(\mathbf{H}\times\dot{\mathbf{v}}) + \mathbf{H}\cdot(\dot{\mathbf{v}}\times\mathbf{E}) \right] - \pi' \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} \\ &= \mathbf{E}\cdot\dot{\mathbf{D}} + \mathbf{H}\cdot\dot{\mathbf{B}} -\frac{2}{c^2}\dot{\mathbf{v}}\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) - \pi \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} \end{align}$

となる．下から2番目の等式で微分のつかない $\mathbf{v}$ 比例項を落とした． $\pi' \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v}$ から， $\pi'$ は $v$ のゼロ次のオーダーでよく， $\pi'=\pi$ である．これらの式を(18.41)に入れ，微分のつかない $\mathbf{v}$ 比例項はすべて落とす．この場合，(15.51)より $u'=u, \mathbf{g}'=\mathbf{g}, \mathsf{T}'=\mathsf{T}$ になる．すなわち(18.41)の右辺は $\pmb{\nabla}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v}-\dot{\mathbf{v}}\cdot\mathbf{g}$ になる．左辺は

$\begin{align} &\ \dot{u}' + \frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{v}}\cdot\mathbf{S}' + \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{S}' + u'\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} + \varphi \\ &= \mathbf{E}\cdot\dot{\mathbf{D}} + \mathbf{H}\cdot\dot{\mathbf{B}} -\frac{2}{c^2}\dot{\mathbf{v}}\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) - \pi \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} +\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{v}}\cdot (\mathbf{E}\times\mathbf{H}) \\ &\ +\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) +\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{D}\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\mathbf{v} +\mathbf{B}\mathbf{H}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\mathbf{v}) \\ &\ +u\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v}+\varphi \end{align}$

となる．これらの項のうち， $\mathbf{v}$ を含まない項はプライムのない系でのポインティング-ヘヴィサイドの定理を満たしているので，すべて相殺される．すなわち

$\begin{align} &\ -\frac{2}{c^2}\dot{\mathbf{v}}\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) - \pi \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} +\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{v}}\cdot (\mathbf{E}\times\mathbf{H}) \\ &\ \pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{D}\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\mathbf{v} +\mathbf{B}\mathbf{H}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\mathbf{v}) \\ &\ +u\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} = \pmb{\nabla}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v}-\dot{\mathbf{v}}\cdot\mathbf{g} \end{align}$

となり，整理してP602の下から3番目の式になる．