電磁気学の基礎 I （その5） 2.3.3, 2.3.4

「電磁気学の基礎 I」太田浩一著 (シュプリンガージャパン) の読書メモ

　2.3.3節では平面電荷がつくる電場を求める．平面上の点を円柱座標で表して $\mathbf{x}'=(\rho'\cos\varphi',\rho'\sin\varphi',0)$ ，観測点を $\mathbf{x}=(0,0,z)$ とする．距離は

$\begin{align} |\mathbf{x}'-\mathbf{x}|= \sqrt{\rho'^2+z^2} \end{align}$

であり， $\mathbf{x}'-\mathbf{x}$ の $z$ 方向成分は $z/|\mathbf{x}'-\mathbf{x}|$ であるから, 電場の $z$ 成分は(2,20)の真ん中の表式になる． $\rho'$ 積分は(2.9)が使え，(2.20)右辺になる．

　平面を細い幅の直線電荷に分割して，直線電荷のつくる電場の和としても計算できる．平面を $x$ 軸に平行な幅 $dy'$ の直線に分割すると， $y=y'$ の位置にある直線と観測点 $\mathbf{x}=(0, 0, z)$ との距離は $\sqrt{y'^2+z^2}$ である．また直線上の点 $\mathbf{x}'=(0, y', 0)$ と観測点 $\mathbf{x}$ との差の $z$ 方向成分は $z/\sqrt{y'^2+z^2}$ であるから，P34の $dE_z$ の表式になる．この $y'$ 積分は

$\begin{align} E_z(z)=\frac{\sigma}{2\pi\epsilon_0}\int_{-\infty}^\infty dy'\frac{z}{y'^2+z^2} =\frac{\sigma}{2\pi\epsilon_0}\arctan\frac{x}{z}\bigg|_{-\infty}^\infty =\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\frac{z}{|z|} \end{align}$

になる．

　2.3.4節では球対称電荷がつくる電場を求める．親切に誘導されておりあまり書くことはない．球座標を使って球面点上の点 $\mathbf{x}'=(a\sin\theta'\cos\varphi', a\sin\theta'\sin\varphi', a\cos\theta')$ にある電荷が観測点 $\mathbf{x}=(0, 0, r)$ につくる電場を考える．距離 $R=|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|$ は

$\begin{align} R &= \sqrt{a^2+r^2-2ar\cos\theta'} \end{align}$

であり， $\mathbf{x}-\mathbf{x}'$ の動径方向，すなわち $z$ 方向は $(r-a\cos\theta')/R$ である．これにより電場 $E_r(r)$ はP35の最初の表式になり，積分変数を $\theta'$ から $R$ に置き換えると(2.22)の真ん中の式を得る． $R$ について積分すると

$\begin{align} E_r(r) &= \frac{\sigma a}{4\epsilon_0 r^2} \int_{|r-a|}^{r+a} dR\left(1+\frac{r^2-a^2}{R^2}\right) \\ &= \frac{\sigma a}{4\epsilon_0 r^2} \left(R-\frac{r^2-a^2}{R}\right)_{|r-a|}^{r+a} \\ &= \frac{\sigma a}{4\epsilon_0 r^2} \left( 2a- |r-a|+\frac{r^2-a^2}{|r-a|}\right) \\ &= \frac{\sigma a}{4\epsilon_0 r^2}\cdot 4a\theta(r-a) \end{align}$

によって(2.22)右辺になる．

　一般の球対称電荷分布 $\varrho(r)$ が与えられた場合は(2,22)において， $a=r'$ , $\sigma=\varrho(r')$ として $r'$ について0から $\infty$ まで積分すればよい．(2.22)に階段関数があるので積分の上限がおさえられ，(2.23)式になる．

　(2.23)に点電荷密度 $\varrho(r')=q \delta(r')/2\pi r'^2$ を入れると $E_r(r) = q/4\pi\epsilon_0 r^2$ になる．ただし

$\begin{align} \int_0^\infty dr' \delta(r')=\frac{1}{2}\end{align}$

を使っている．こんな関係式があるとはちょっと驚きである．グリフィスには見当たらないし，検索してもヒットしない．ただ，正しく点電荷密度になっていることはこの関係式を使って

$\begin{align} \int_0^\infty dr' \int_0^\pi d\theta' \int_0^{2\pi}d\varphi' \, r'^2\sin\theta' \frac{q\delta(r')}{2\pi r'^2} = 2q\int_0^\infty dr' \delta(r')=q \end{align}$

になることからわかる．