電磁気学の基礎 I （その9） 3.2.2

「電磁気学の基礎 I」太田浩一著 (シュプリンガージャパン) の読書メモ

　
　まず直線電荷がつくる電位を求める．長さ $l$ の線分上に一様に電荷が分布しているときの，線分がつくる電位を求める． $z$ 軸上に $(0,0,-l/2)$ から $(0,0,l/2)$ まで電荷線密度 $\lambda$ で一様に分布する線分電荷をおきます．線分上の点 $\mathbf{x}'=(0,0,z')$ にある電荷が，観測点 $\mathbf{x}=(\rho\cos\varphi, \rho\sin\varphi, z)$ につくる電位を求める．

$\begin{align} \phi(\mathbf{x}) &= \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_{-l/2}^{l/2} \frac{dz'}{\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}} \\ &= \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_{z-l/2}^{z+l/2} \frac{dt}{\sqrt{\rho^2+t^2}} ,\qquad (t=z-z') \\ &= \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \ln \left( \frac{\sqrt{\rho^2+(z+l/2)^2}+z+l/2}{\sqrt{\rho^2+(z-l/2)^2}+z-l/2} \right) \tag{a} \label{100303-1} \end{align}$

3番目の等式で積分(3.13)を使った．

　 $l$ が小さいとき， $l$ について $\eqref{100303-1}$ を展開すると

$\begin{align} \phi(\mathbf{x})\simeq \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \ln \left(1+\frac{l}{r}\right) \simeq \frac{\lambda l}{4\pi\epsilon_0 r} \end{align}$

となる．

　逆に $l$ が大きいとき， $z/l$ について展開する．

$\begin{align} \sqrt{\rho^2+\left(z\pm\frac{l}{2}\right)^2}=\frac{l}{2}\sqrt{1\pm \frac{4z}{l}+\frac{4r^2}{l^2}} =\frac{l}{2}\pm z+\frac{\rho^2}{l}+\cdots \end{align}$

であることを使って $\eqref{100303-1}$ を展開すると

\begin{align}
\phi(\mathbf{x})&\simeq
\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \ln \left( \frac{l+2z+\rho^2/l^2}{\rho^2/l^2} \right) \\
&\simeq \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \ln \frac{l^2}{\rho^2} \\\
&= \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\frac{1}{\rho}+\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln l
\end{align}

となる．最後の式の第2項は $l\to \infty$ で発散するが，座標によらない定数なので微分して電場を得るときに落ちてしまう．そのためこのような項は無視してよい． $\eqref{100303-1}$ の積分範囲を最初から $(-\infty, \infty)$ にしてしまうと積分が発散してしまうので，とりあえず有限の $l/2$ までにしておき，計算の最後に $l\to \infty$ として結果を評価をするとき，この $l$ をカットオフと言う．