電磁気学の基礎 I （その8） 3.1, 3.2.1

　3.1節．電位は $\phi$ を使う．グリフィスでは $V$ である．外力が電場中の電荷に与える仕事は $V$ で，グリフィスでは $W$ である．

　3.2.1節．球対称電荷がつくる電位を求める．先に一般の球対称電荷の場合を考える．観測点を $\mathbf{x}=(0,0,r)$ , 電荷の位置を $\mathbf{x}'=(r'\sin\theta'\cos\varphi',r'\sin\theta'\sin\varphi',r'\cos\theta')$ と球座標で表せば, $|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|=\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\theta'}$ であるから

$\begin{align} \phi(r) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} d\varphi' \int_0^\pi d\theta' \int_0^\infty dr' r'^2 \sin\theta' \frac{\varrho(r')}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\theta'}} \\ &= \frac{1}{2\epsilon_0} \int_0^\infty dr' r'^2 \varrho(r') \int_{-1}^1 \frac{dt}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr't}} \qquad (t=\cos\theta') \end{align}$

となり，積分を実行すると

$\begin{align} \int_{-1}^1 \frac{dt}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr't}} &= -\frac{\sqrt{r^2+r'^2-2rr't}}{r r'} \bigg|_{-1}^1 \\ &= \frac{r+r'-|r-r'|}{rr'} \end{align}$

となるので

$\begin{align} \phi(r) &= \frac{1}{2\epsilon_0 r}\int_0^\infty dr' r' (r+r'-|r-r'|) \varrho(r') \end{align}$

になる．絶対値をはずして場合分けすれば(3.8)になる．(3.6)を得るには $\varrho(r)=\sigma \delta(r-a)$ ，(3.7)を得るには $\varrho(r)=\varrho\theta(a-r)$ を使う．点電荷密度は $q\delta(r)/2\pi r^2$ であるが，これは2.3.4節で出てきた $\int_0^\infty dr' \delta(r') = 1/2$ を使う．

　水素原子のつくる電位と電場を求める．(3.9)を(3.8)に代入する．必要な積分は

$\begin{align} \int dr\, r e^{- ar} &= -\frac{ar+1}{a^2}e^{-ar} \\ \int dr\, r^2 e^{-ar} &= -\frac{a^2r^2+2ar+2}{a^3}e^{-ar} \end{align}$

で，これらを使うと電子がつくる電位は

$\begin{align} \frac{1}{\epsilon_0 r}\int_0^r dr' r'^2 \varrho_e(r') + \frac{1}{\epsilon_0}\int_r^\infty dr' r'\varrho_e(r') = \frac{e}{4\pi \epsilon_0 r}\left(1+\frac{r}{a_0}\right) e^{-2r/a_0} -\frac{e}{4\pi\epsilon_0 r} \end{align}$