電磁気学の基礎 I （その7） 2.8, 2.9

　2.8節．はじめの段落に書かれていることを式にしてみる．

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot \mathbf{E} &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int dV' \varrho(\mathbf{x}')\pmb{\nabla}\cdot \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3} \end{align}$

右辺の微分は $\mathbf{x}'=\mathbf{x}$ でなければ0になる． $\mathbf{x}'=\mathbf{x}$ の場合を考えるには $\mathbf{x}$ を中心とする微小半径 $a$ の球を考え，その領域内では $\varrho(\mathbf{x}')$ は一定であるとする．

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot \mathbf{E} &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_a dV' \varrho(\mathbf{x}')\pmb{\nabla}\cdot \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\varrho(\mathbf{x}) \int_a dV' \pmb{\nabla}\cdot \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\\ &= -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\varrho(\mathbf{x}) \int_a dV' \pmb{\nabla}'\cdot \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\varrho(\mathbf{x}) \int_a dV'' \pmb{\nabla}''\cdot \frac{\mathbf{x}''}{r''^3}, \qquad (\mathbf{x}''=\mathbf{x}'-\mathbf{x}) \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\varrho(\mathbf{x}) \oint_a dS'' \frac{\mathbf{n}''\cdot\mathbf{x}''}{r''^3} \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\varrho(\mathbf{x}) \oint_a d\Omega \\ &= \frac{1}{\epsilon_0}\varrho(\mathbf{x}) \end{align}$

3段目で $\pmb{\nabla}$ を $-\pmb{\nabla}'$ にし，5段目で発散定理を使い面積分に，6段目で立体角の定義を使った．この4段目の式と最終結果から，(2.38)の関係があることがわかる．

　クーロンの法則からガウスの法則を導くことはできるが，ガウスの法則からクーロンの法則を導くことはできない．ガウスの法則は $\pmb{\nabla}\cdot \mathbf{E}$ を与えるが， $\pmb{\nabla}\times \mathbf{E}$ が決まらないので $\mathbf{E}$ が確定しないためである．