「電磁気学の基礎 I」太田浩一 著 (シュプリンガージャパン) の読書メモ
3.2.2節の続き．今回は一般的な軸対称電荷がつくる電位を求める．観測点を とし, 電荷の位置を
とすれば，電位は
\begin{align}
\phi(\rho) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} d\varphi' \int_0^\infty d\rho'
\int_{-l/2}^{l/2} dz' \rho' \frac{\varrho(\rho')}
{\sqrt{\rho^2+\rho'^2-2\rho\rho'\cos\varphi'+z'^2}} \\
&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} d\varphi' \int_0^\infty d\rho' \rho'
\varrho(\rho') \ln
\frac{\sqrt{R^2+l^2/4}+l/2} {\sqrt{R^2+l^2/4}-l/2}
\end{align}
と書ける．ここで， とした．前回と同様に
積分は無限大までとると発散するので，カットオフ
を入れている．対数部分を変形して，
について展開する．
\begin{align}
\frac{\sqrt{R^2+l^2/4}+l/2}{\sqrt{R^2+l^2/4}-l/2}
&= \frac{[\sqrt{R^2+l^2/4}+l/2]^2}{R^2} \\
&= \frac{l^2/2}{R^2}+1
+\frac{l\sqrt{R^2+l^2/4}}{R^2} \\
&= \frac{l^2}{R^2}+2+O(l^{-2})
\end{align}
第2項目の「2」は，対数の中にあるので次のように変形すれば無視できることがわかる．
\begin{align}
\ln\left(\frac{l^2}{R^2}+2\right)&=\ln\left[\frac{l^2}{R^2}\left(1+2\frac{R^2}{l^2}\right)\right] \\
&=\ln\frac{l^2}{R^2}+\ln\left(1+2\frac{R^2}{l^2}\right)\cong \ln\frac{l^2}{R^2}
\end{align}
その結果
\begin{align}
\phi(\rho) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} d\varphi' \int_0^\infty d\rho' \rho'
\varrho(\rho') \ln \frac{l^2}{R^2}
\label{100303-3}
\end{align}
となる． として，まず
の項に注目すると
\begin{align}
\frac{\ln l^2}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} d\varphi' \int_0^\infty d\rho' \rho'
\varrho(\rho')
\end{align}
になる．この積分部分は円柱の断面に分布する電荷密度を足しあげたものになっているので，円柱の単位長さあたりの電荷に相当する．この部分を と表せば
\begin{align}
\frac{\lambda \ln l^2}{4\pi\epsilon_0} = \frac{\lambda \ln l}{2\pi\epsilon_0}
\end{align}
となる．これは座標によらない定数なので，前回と同様に無視できる．次に の項について，改めて書くと
\begin{align}
\phi(\rho)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_0^\infty d\rho' \rho'\varrho(\rho')
\int_0^{2\pi} d\varphi' \ln(\rho^2+\rho'^2-2\rho\rho'\cos\varphi')
\label{100304-1}
\end{align}
である． 積分を行うため，(2.14)式
\begin{align}
\int_0^{2\pi} \frac{d\varphi}{\alpha’-\cos\varphi}
= \frac{2\pi}{\sqrt{\alpha'^2-1}} \theta(\alpha'-1)
\end{align}
\begin{align}
\int_0^{2\pi} d\varphi' \int_0^\alpha \frac{d\alpha'}{\alpha'-\cos\varphi}=\int_0^{2\pi} d\varphi' \left\{ \ln(\alpha-\cos\varphi)-\ln|\cos\varphi| \right\}
\end{align}
となる．この式の右辺第1項の 積分は積分を実行せずに残しておく．右辺第2項は
\begin{align}
\int_0^{2\pi} d\varphi \ln|\cos\varphi|=4\int_0^{\pi/2} d\varphi \ln\cos\varphi
= -2\pi\ln 2
\end{align}
となる．この定積分は次回示す．さらに(2.14)右辺を積分すると
\begin{align}
\int_0^\alpha d\alpha' \frac{2\pi}{\sqrt{\alpha'^2-1}} \theta(\alpha'-1)
=2\pi \int_1^\alpha \frac{d\alpha'}{\sqrt{\alpha'^2-1}} = 2\pi \ln(\alpha+\sqrt{\alpha^2-1})
\end{align}
となる．まとめると
\begin{align}
\int_0^{2\pi} d\varphi' \ln(\alpha-\cos\varphi')&=2\pi\ln(\alpha+\sqrt{\alpha^2-1})
-2\pi\ln2 \\ &= 2\pi\ln\left\{\frac{1}{2}(\alpha+\sqrt{\alpha^2-1})\right\}
\end{align}
が得られる．この式を使って電位の 積分を実行する．
\begin{align}
& \int_0^{2\pi} d\varphi' \ln(\rho^2+\rho'^2-2\rho\rho'\cos\varphi') \\
&\ = 2\pi\ln(2\rho\rho')+\int_0^{2\pi} d\varphi' \ln\left(\frac{\rho}{2\rho'}+\frac{\rho'}{2\rho}
-\cos\varphi'\right) \\
&\ = 2\pi\ln(2\rho\rho')+2\pi\ln\left\{ \frac{1}{4}\left(\frac{\rho}{\rho'}+\frac{\rho'}{\rho}
+\left| \frac{\rho}{\rho'}-\frac{\rho'}{\rho}\right|\right)\right\} \\
&\ = 2\pi\theta(\rho-\rho')\ln \rho^2 + 2\pi\theta(\rho'-\rho)\ln \rho'^2 \\
&\ = -4\pi\theta(\rho-\rho')\ln\frac{1}{\rho}-4\pi\theta(\rho'-\rho)\ln\frac{1}{\rho'}
\end{align}
階段関数があるので 積分は簡単にでき，(3.16)式が得られる．
