電磁気学の基礎 I （その2） 2.3.1

　2.3節では具体的な電荷分布に対する電場を求める．

　2.3.1. 直線電荷がつくる電場

長さ $l$ の線分上に一様に電荷が分布しているときの，線分がつくる電場を求める．線分を $z$ 軸上に取り，電荷の位置を $\mathbf{x}'=(0, 0, z')$ ，観測点を $\mathbf{x}=(\rho, 0, z)$ に取る． $\rho, \varphi, z$ は円柱座標の成分である．通常は $\mathbf{x}=(\rho\cos\varphi, \rho\sin\varphi, z)$ と取るが，今の場合 $\varphi$ 方向は対称性をもつから $\mathbf{x}$ の中で $\varphi=0$ としても一般性を失わない．電荷の位置から観測点までの距離は

\begin{align}|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|=\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}\end{align}

で， $\mathbf{x}-\mathbf{x}'$ の $x$ 方向成分，すなわち $\rho$ 方向成分は $\rho/|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|$ であり， $z$ 方向成分は $(z-z')/|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|$ である． $\mathbf{x}'$ にある電荷は $\lambda dz'$ であるから， $E_\rho, E_z$ はそれぞれP31の $z'$ 積分の表式になる．

　 $z'$ 積分は $t=z'-z$ と変数変換すれば (2.9) が使え，その結果 $E_\rho, E_z$ の最終表式を得る．

　 $l$ が小さいときは $l/r$ について (2.10) のように展開できる．ここで $r=|\mathbf{x}|=\sqrt{\rho^2+z^2}$ である． $l/r$ の1次まで取れば (2.10) の下にあるような $E_\rho, E_z$ の表式が得られ，2式をまとめて書くとその下の $\mathbf{E}(\mathbf{x})$ の表式になる．

　半無限長の場合は下でやることにして，先に無限長の場合を考える．これは $E_\rho, E_z$ の最終表式で $l\to \infty$ とすればよい．結果は $E_z=0$ になり， $E_\rho$ は (2.12) になる．

　半無限長の場合， $E_\rho, E_z$ の最終表式で $z\to z+l/2$ と置き換えればよい．そうすれば $z=-l$ から $0$ までの線分になるので， $l\to \infty$ で半無限長になる．

\begin{align}E_\rho &= \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0\rho} \left[ \frac{z+l}{\sqrt{\rho^2+(z+l)^2}}-\frac{z}{\sqrt{\rho^2+z^2}} \right] \\\\
E_z &= \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{1}{\sqrt{\rho^2+z^2}}-\frac{1}{\sqrt{\rho^2+(z+l)^2}} \right]\end{align}

$l\to\infty$ で $E_\rho$ 第1項目は1， $E_z$ 第2項目は0になるので，

\begin{align}
E_\rho &= \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0\rho} \left( 1-\frac{z}{\sqrt{\rho^2+z^2}}\right) \\
&= \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r^2-z^2} \frac{r-z}{r} \\
&= \frac{\lambda\rho}{4\pi\epsilon_0 r(r+z)} \tag{a} \label{a} \\\\
E_z &= \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 r}
\end{align}

になる． $z\cong -r$ の場合, $\rho$ は非常に小さくなるので