電磁気学の基礎 II （その4） 12.9, 12.10, 12.11

　12.9節．上から2番目の磁場の式は(8.38)と同じ．(12.62)は $x_ix_j$ の角度積分が $(4\pi/3)\delta_{ij}$ であることを使っている．

　12.10節．P361の最初の式は最初の等式がよくわからない．角度積分する前はもう少し複雑な形で，

\begin{align}
\mathbf{F}_{11} &= -\frac{\mu_0 q_1}{8\pi}\int dV \varrho(r) \left( \frac{\dot{\mathbf{v}}_1\cdot\mathbf{x}\mathbf{x}}{r^3}
+\frac{\dot{\mathbf{v}}_1}{r}\right) \\
&= -\frac{\mu_0 q_1}{8\pi} \dot{\mathbf{v}}_1 \left(\frac{4\pi}{3}+4\pi\right) \int_0^\infty dr r^2 \frac{\varrho(r)}{r} \\
&= -\frac{2\mu_0 q_1}{3} \dot{\mathbf{v}}_1 \frac{q_1}{4\pi a^2} \int_0^\infty dr r\delta(r-a) \\
&= -\frac{\mu_0 q_1^2}{6\pi a} \dot{\mathbf{v}}_1
\end{align}

のように計算されるはずである．

　12.11節． $\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21}$ の3段目の項は磁場からの寄与で

$\begin{align} \mathbf{v}_2\times(\mathbf{v}_1\times(-\mathbf{r}))+\mathbf{v}_1\times(\mathbf{v}_2\times\mathbf{r}) &= -\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2\cdot\mathbf{r} + \mathbf{v}_2\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{r} \\ &= -\mathbf{r}\times(\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2) \\ &= (\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2) \times\mathbf{r} \end{align}$

によって得られる．

　P363の一番下の式の右辺で $r'^2$ が抜けている．この角度積分は3章でやった．

　 $\dot{\mathbf{G}}_{12}+\dot{\mathbf{G}}_{21}$ の計算は結果だけ与えられているが結構大変である．

$\begin{align} \mathbf{G}_{12}+\mathbf{G}_{21}=q_1\mathbf{A}_{12}+q_2\mathbf{A}_{21} = \frac{\mu_0 q_1 q_2}{8\pi} \left( \frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2}{r} +\frac{(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)\cdot\mathbf{r}\mathbf{r}}{r^3}\right) \end{align}$

に対して，

$\begin{align} \frac{d f(\mathbf{r})}{d t}=\frac{d\mathbf{z}_1}{dt}\cdot \pmb{\nabla}_1f(\mathbf{r})+\frac{d\mathbf{z}_2}{dt}\cdot \pmb{\nabla}_2f(\mathbf{r}) = (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)\cdot\pmb{\nabla}_1 f(\mathbf{r}) \end{align}$

を使って各項を微分する．