電磁気学の基礎 II （その5） 12.12, 12.13, 12.14

　12.12節．超電導は電子の正準運動量が0になる現象である．永久電流は磁束の量子化で説明できる．

　12.13節．遠隔作用の電磁場とはどういうことだろうか． $\nabla^{-2}$ が非局所演算子であるから遠隔ということになるのだろうか．

　電荷がない場合， $\mathbf{E}=-\pmb{\nabla}\phi-\dot{\mathbf{A}}=-\dot{\mathbf{A}}$ となる．また， $\pmb{\nabla}\cdot\dot{\mathbf{A}}=0$ より $\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}=0$ とできる．さらに(12.18)より $\Box^2\mathbf{A}=-\mu_0 \mathbf{J}$ を満たす.
$\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}=0$ から，

$\begin{align} \mathbf{E}=-\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}_m \tag{a} \label{c} \end{align}$

と表すと，アンペールマクスウェルの法則は

$\begin{align} \pmb{\nabla}\times\left(\mathbf{B}+\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{A}}_m\right)=\mu_0\mathbf{J} \tag{b} \label{a} \end{align}$

になる．すると， $\mathbf{E}=-\dot{\mathbf{A}}$ の類推で $\mathbf{B}=-\dot{\mathbf{A}}_m/c^2$ としてしまうと
上の式と矛盾する．そこで

$\begin{align} \mathbf{B}_1 = \pmb{\nabla}\times\mathbf{A}_1, \quad \mathbf{A}_1 = -\mu_0 \nabla^{-2}\mathbf{J} \tag{c} \label{e} \end{align}$

を満たす磁場 $\mathbf{B}_1$ を導入すると

$\begin{align} \pmb{\nabla}\times\mathbf{B}_1=\pmb{\nabla}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}_1) =\pmb{\nabla}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}_1-\nabla^2\mathbf{A}_1 =\mu_0 \mathbf{J} \tag{d} \label{b} \end{align}$

となる．ここで $\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}_1=0$ を使ったが，これは

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}_1=-\mu_0\nabla^2 \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{J} \end{align}$

であるが，\eqref{a}の両辺の発散をとると，左辺は恒等的に0なので，

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{J}=0 \end{align}$

により $\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}_1=0$ を得る．\eqref{a}と\eqref{b}を比べると

$\begin{align} \mathbf{B}_1 = \mathbf{B}+\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{A}}_m \tag{e} \label{d} \end{align}$

の関係がある．\eqref{e}の第1式から $\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B}_1=0$ なので $\pmb{\nabla}\cdot\dot{\mathbf{A}}_m = 0$
となり，

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}_m = 0 \end{align}$

とできる．次にファラデイの法則に\eqref{c}と\eqref{d}を入れると

$\begin{align} \pmb{\nabla}\times\mathbf{E} &= -\pmb{\nabla}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}_m)=-\pmb{\nabla}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}_m+\nabla^2\mathbf{A}_m=\nabla^2\mathbf{A}_m \\ &= -\dot{\mathbf{B}} = -\dot{\mathbf{B}}_1+\frac{1}{c^2}\ddot{\mathbf{A}}_m \end{align}$

であるから，

$\begin{align} \Box^2 \mathbf{A}_m = -\dot{\mathbf{B}}_1 = -\mu_0 \mathbf{J}_m,\quad \mathbf{J}_m=\frac{1}{\mu_0}\dot{\mathbf{B}}_1 \label{190906-87} \end{align}$

となる．さらに $\mathbf{E}_1=-\dot{\mathbf{A}}_1$ と定義する． $\mathbf{E}_1=-\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}_{m1}$ と書くと，
$\dot{\mathbf{A}}_1=\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}_{m1}$ なので

$\begin{align} \pmb{\nabla}\times\dot{\mathbf{A}}_1=\pmb{\nabla}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}_{m1}) =\pmb{\nabla}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}_{m1}-\nabla^2 \mathbf{A}_{m1} \end{align}$

となる．ここで $\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}_{m1}=0$ を課すと

$\begin{align} \mathbf{A}_{m1}=-\nabla^{-2}\pmb{\nabla}\times\dot{\mathbf{A}}_1 \label{190906-86} \end{align}$

となる．この $\mathbf{A}_{m1}$ が磁場をつくると考え，

$\begin{align} \mathbf{B}_2 = \mathbf{B}_1-\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{A}}_{m1}=\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}_1+\frac{1}{c^2}\nabla^{-2}\pmb{\nabla}\times\ddot{\mathbf{A}}_1 \end{align}$

とする．以下も同様．

　12.14節．磁気モノポールの存在を仮定しても理論に矛盾は生じない．ない理由がないということは，単に見つかっていないだけなのか？それともやはり理論に穴ができるのだろうか．

　(12.81)の上の式は

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot\textsf{T}-\dot{\mathbf{g}} &= \epsilon_{0} \{ \mathbf{E} \pmb{\nabla} \cdot \mathbf{E}-\mathbf{E} \times(\pmb{\nabla}\times \mathbf{E})\}+\frac{1}{\mu_{0}}\{\mathbf{B} \pmb{\nabla} \cdot \mathbf{B}-\mathbf{B} \times(\pmb{\nabla} \times \mathbf{B}) \} \\ &\ -\epsilon_0\{ \dot{\mathbf{E}}\times\mathbf{B}-\mathbf{E}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E})+\mathbf{E}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E}+\dot{\mathbf{B}}) \}\\ &= \epsilon_{0}\mathbf{E} \pmb{\nabla} \cdot \mathbf{E}+\frac{1}{\mu_{0}} \{ \mathbf{B} \pmb{\nabla} \cdot \mathbf{B}-\mathbf{B} \times(\pmb{\nabla} \times \mathbf{B}) \} \\ &\ -\epsilon_0\{ \dot{\mathbf{E}}\times\mathbf{B}+\mathbf{E}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E}+\dot{\mathbf{B}}) \} \\ &= \epsilon_{0}\mathbf{E} \pmb{\nabla} \cdot \mathbf{E}+\frac{1}{\mu_{0}} \left( \pmb{\nabla}\times\mathbf{B}-\epsilon_0 \mu_0 \dot{\mathbf{E}}\right)\times\mathbf{B} \\ &\ +\frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{B} \pmb{\nabla} \cdot \mathbf{B} +\epsilon_0 (\pmb{\nabla}\times\mathbf{E}+\dot{\mathbf{B}})\times\mathbf{E} \\ &= \mathbf{f} \end{align}$

によって得られる．