「電磁気学の基礎 II」太田浩一 著 (シュプリンガージャパン) の読書メモ
12.6節．P353の最初の式がやや複雑である．左辺は
による．右辺は各項を展開し，左辺になることを示す．
\begin{align}
\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{E}^{\rm L}\mathbf{x}\times\mathbf{A}^{\rm T}) &=
\mathbf{x}\times\mathbf{A}^{\rm T}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}^{\rm L} + \mathbf{E}^{\rm L}\cdot\pmb{\nabla}
\mathbf{x}\times\mathbf{A}^{\rm T} \\
&= \mathbf{x}\times\mathbf{A}^{\rm T}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}^{\rm L}
+ \mathbf{x}\times(\mathbf{E}^{\rm L}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{A}^{\rm T})
- \mathbf{A}^{\rm T}\times(\mathbf{E}^{\rm L}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{x}) \\
&= \mathbf{x}\times\mathbf{A}^{\rm T}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}^{\rm L}
+ \mathbf{x}\times(\mathbf{E}^{\rm L}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{A}^{\rm T})
- \mathbf{A}^{\rm T}\times\mathbf{E}^{\rm L}
\end{align}
\begin{align}
\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{A}^{\rm T}\mathbf{x}\times\mathbf{E}^{\rm L})
&= \mathbf{x}\times\mathbf{E}^{\rm L}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}^{\rm T}
+ \mathbf{x}\times(\mathbf{A}^{\rm T}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{E}^{\rm L})
- \mathbf{E}^{\rm L}\times\mathbf{A}^{\rm T} \\
&= \mathbf{x}\times(\mathbf{A}^{\rm T}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{E}^{\rm L})
- \mathbf{E}^{\rm L}\times\mathbf{A}^{\rm T}
\end{align}
\begin{align}
\pmb{\nabla}\times(\mathbf{x}\mathbf{A}^{\rm T}\cdot\mathbf{E}^{\rm L}) &=
\mathbf{A}^{\rm T}\cdot\mathbf{E}^{\rm L}\pmb{\nabla}\times\mathbf{x}
-\mathbf{x}\times\pmb{\nabla}\mathbf{A}^{\rm T}\cdot\mathbf{E}^{\rm L} \\
&= -(\mathbf{x}\times\pmb{\nabla}\mathbf{A}^{\rm T})\cdot\mathbf{E}^{\rm L}
-(\mathbf{x}\times\pmb{\nabla}\mathbf{E}^{\rm L})\cdot\mathbf{A}^{\rm T}
\end{align}
\begin{align}
\mathbf{x}\times\{\mathbf{A}^{\rm T}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E}^{\rm L})\} &=
\mathbf{x}\times \{(\pmb{\nabla}\mathbf{E}^{\rm L})\cdot\mathbf{A}^{\rm T}-\mathbf{A}^{\rm T}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{E}^{\rm L})
\} \\
&= (\mathbf{x}\times\pmb{\nabla}\mathbf{E}^{\rm L})\cdot\mathbf{A}^{\rm T}
-\mathbf{x}\times(\mathbf{A}^{\rm T}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{E}^{\rm L}) \\
&=0
\end{align}
これらを使うと左辺に帰着する． の場合（(12.56)の上の式）の場合も，左辺は
の場合と同様である．右辺第1項は左辺第1項と同じなので，残りの項を確かめる．これは
\begin{align}
\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{E}^{\rm T}\mathbf{x}\times\mathbf{A}^{\rm T}) &=
\mathbf{x}\times\mathbf{A}^{\rm T}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}^{\rm T} + \mathbf{E}^{\rm T}\cdot\pmb{\nabla}
\mathbf{x}\times\mathbf{A}^{\rm T} \\
&= \mathbf{x}\times\mathbf{A}^{\rm T}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}^{\rm T}
+ \mathbf{x}\times(\mathbf{E}^{\rm T}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{A}^{\rm T})
- \mathbf{A}^{\rm T}\times(\mathbf{E}^{\rm T}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{x}) \\
&= \mathbf{x}\times\mathbf{A}^{\rm T}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}^{\rm T}
+ \mathbf{x}\times(\mathbf{E}^{\rm T}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{A}^{\rm T})
- \mathbf{A}^{\rm T}\times\mathbf{E}^{\rm T} \\
&= \mathbf{x}\times(\mathbf{E}^{\rm T}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{A}^{\rm T})
- \mathbf{A}^{\rm T}\times\mathbf{E}^{\rm T}
\end{align}
によって確かめられる．
12.7節．難しい．第3段落が理解できない．最初は磁場がないとあるのに，最後の段をみると実は磁場があると書いてある．とするとこの例は何を示していることになるのだろうか．最後の段落で再び が存在しても電磁場の運動量ではないという例が登場するが，ここでも実は弱い磁場があるというオチがあるのでは，と勘繰ってしまう．
12.8節．非常に興味深い節なのだが，ポイントが今ひとつつかめない．どうして「隠れた」なのだろうか．歴史を知らないので何が問題だったのかがわからない．グリフィスの索引にこのような項目はなかったが，P547に同じ話題があった．ニュートン力学で計算すると，電流を構成する電荷の全運動量は0になるが，相対論では有限になる．これが隠れた運動量ということらしい．
