電磁気学の基礎 I （その11） 3.2.2

　3.2.2節の続き．まず前回現れた定積分

$\begin{align} I = \int_0^{\pi/2} d\varphi \ln\cos\varphi \end{align}$

を計算する．これは再帰的な関係式を使うことで，原始関数を求めなくても積分値がわかる．まず $\varphi\to -\varphi+\pi/2$ と変数変換すると

$\begin{align} I = \int_0^{\pi/2} d\varphi \ln\sin\varphi \end{align}$

になる．これから

$\begin{align} I &= \int_0^{\pi/2} d\varphi \ln\sin\left(2\cdot\frac{\varphi}{2}\right) \\ &= \int_0^{\pi/2} d\varphi \ln\left(2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\right) \\ &= \frac{\pi}{2}\ln 2 + \int_0^{\pi/2} d\varphi \ln\cos\frac{\varphi}{2} + \int_0^{\pi/2} d\varphi \ln\sin\frac{\varphi}{2} \\ &= \frac{\pi}{2}\ln 2 + 2\int_0^{\pi/4} d\varphi \ln\cos\varphi + 2\int_0^{\pi/4} d\varphi \ln\sin \varphi \end{align}$

になるので，最後の式の最後の項を $\varphi\to -\varphi+\pi/2$ と変数変換すると

$\begin{align} I&= \frac{\pi}{2}\ln 2 + 2\int_0^{\pi/4} d\varphi \ln\cos\varphi + 2\int_{\pi/4}^{\pi/2} d\varphi \ln\cos \varphi \\ &= \frac{\pi}{2}\ln 2 + 2I \end{align}$

を得る．したがって

$\begin{align} I = -\frac{\pi}{2}\ln 2\end{align}$

となる．

　さて前回の続きに戻る．(3.16)まで確認したので，この式を使った応用をいくつか行う．まず直線に電荷が分布する場合，電荷密度と電荷線密度との関係は

$\begin{align} \lambda = \int_0^{2\pi}d\varphi' \int_0^\infty d\rho'\, \rho'\, \varrho(\rho') = 2\pi \int_0^\infty d\rho'\, \rho'\, \varrho(\rho') \end{align}$

であった．これから

$\begin{align} \varrho(\rho)=\frac{\lambda}{\pi \rho}\delta(\rho) \end{align}$

という関係があることがわかる．ただし $\int_0^\infty d\rho' \delta(\rho')=\frac{1}{2}$ であることを使っている．この $\varrho(\rho)$ を(3.16)に代入すると，第1項がきき，

$\begin{align} \phi(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln \frac{1}{\rho} \end{align}$

を得る．

　半径 $a$ の一様円筒電荷密度の場合 $\varrho(\rho)=\sigma\delta(\rho-a)$ を(3.16)に代入すると

$\begin{align} \phi(\rho) &= \frac{\sigma a}{\epsilon_0} \theta(\rho-a) \ln \frac{1}{\rho} + \frac{\sigma a}{\epsilon_0} \theta(a-\rho) \ln\frac{1}{a} \\ & = \frac{\sigma a}{\epsilon_0}\theta(\rho-a)\ln \frac{a}{\rho} + \frac{\sigma a}{\epsilon_0} \ln \frac{1}{a} \end{align}$

となる．ここで $\theta(x)=1-\theta(-x)$ を使った．最後の式の2項目は定数なので無視したものが(3.17)である．

　半径 $a$ の一様円柱電荷密度の場合 $\varrho(\rho)=\varrho\theta(a-\rho)$ を(3.16)に代入すると，まず $\rho\gt a$ の場合

$\begin{align} \phi(\rho)=\frac{\varrho}{\epsilon_0}\ln\frac{1}{\rho}\int_0^a d\rho' \rho' = \frac{a^2 \varrho}{2\epsilon_0}\ln\frac{1}{\rho} \end{align}$

になるが，ここでは定数を加える自由度を利用して $\phi(a)=0$ になるように定数を加える．

$\begin{align} \phi(\rho)= \frac{a^2 \varrho}{2\epsilon_0}\ln\frac{a}{\rho} \tag{a} \label{100304-5} \end{align}$

一方 $\rho\lt a$ の場合は

$\begin{align} \phi(\rho)&=\frac{\varrho}{\epsilon_0}\ln\frac{1}{\rho}\int_0^\rho d\rho' \rho' +\frac{\varrho}{\epsilon_0}\int_\rho^a d\rho' \ln\frac{1}{\rho'} \\ &= \frac{\varrho \rho^2}{2\epsilon_0}\ln\frac{1}{\rho}+\frac{\varrho}{\epsilon_0} \left( \frac{a^2-\rho^2}{4}+\frac{a^2}{2}\ln\frac{1}{a}-\frac{\rho^2}{2}\ln\frac{1}{\rho}\right) \\ &= \frac{\varrho}{4\epsilon_0}(a^2-\rho^2) \tag{b} \label{100304-6} \end{align}$

とる．この場合は定数項を落として $\phi(a)=0$ になるようにした． $\eqref{100304-5}$ と $\eqref{100304-6}$ から

$\begin{align} \phi(\rho)=\frac{\varrho}{4\epsilon_0}(a^2-\rho^2)\theta(a-\rho) +\frac{a^2 \varrho}{2\epsilon_0}\theta(\rho-a)\ln\frac{a}{\rho} \end{align}$

と表すことがでる．

　電位から電場を求めるのは単純な微分計算であるが，階段関数も微分する必要がある．今の場合，微分によって生ずるデルタ関数項はすべて係数が0になる．