電磁気学の基礎 I （その13） 3.5

　今後，計算にアインシュタインの縮約記法を使う．座標を $x_i, y_j$ などとするとき，和の記号を省略し

$\begin{align} x_i y_i = \sum_{i=1}^3 x_i y_i \end{align}$

と書く．

　電気双極子は同じ大きさのプラスとマイナスの電荷対だが，この本では電荷対の距離を0にする極限を取り，同時に電荷を無限大にする．後者の極限は双極子モーメントが発散しないようにするためである．

　3次元デルタ関数に関する(3.33)は， $r\neq 0$ の場合は通常の微分である．デルタ関数項については， $i=j$ として1から3まで和を取ると，左辺はラプラス演算子 $\nabla^2(1/r)$ に，右辺は1項目と2項目が相殺して消え，3項目は $-4\pi\delta(\mathbf{x})$ になり，(3.26)になる．左辺が $i, j$ について対称なので，右辺で取り得る項の形は $\partial_i\partial_j, x_ix_j, \delta_{ij}, x_i\partial_j+x_j\partial_i$ であるが，(3.26)を再現するようなものは $\delta_{ij}$ の形だけである．係数も(3.26)を再現するように決めれば $-4\pi/3$ になる．

　(3.33)を使うと

$\begin{align} E_i &= -\partial_i \phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} p_j\partial_i \partial_j \frac{1}{r} \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} p_j \left(\frac{3x_i x_j}{r^5}-\frac{\delta_{ij}}{r^3} -\frac{4\pi}{3}\delta_{ij}\delta(\mathbf{x})\right) \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 3\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}x_i}{r^5}-\frac{p_i}{r^3}\right)-\frac{1}{3\epsilon_0}p_i \delta(\mathbf{x}) \end{align}$

により(3.34)を得る．この電場の発散をとると，(3.26)を使って(3.35)になるので，双極子モーメント密度は(3.36)で与えられる．この式は微分演算子がつく以外は通常の電荷密度(2.36)と同じ形をしているので，双極子モーメントが位置 $\mathbf{z}$ にあるときの電荷密度分布は(2.36)と同様に

$\begin{align} \varrho^P(\mathbf{x})=-\mathbf{p}\cdot\pmb{\nabla}\delta(\mathbf{x}-\mathbf{z}) \end{align}$

となる．この式を使っているのが(3.37)と(3.38)で，ともに3番目の等式は

$\begin{align} \pmb{\nabla}_\mathbf{x}\delta(\mathbf{x}-\mathbf{z})=-\pmb{\nabla}_\mathbf{z}\delta(\mathbf{x}-\mathbf{z}) \end{align}$

を使って微分演算子を積分の外に出してから積分を計算している．

　(3.38)の下にある，ベクトルの恒等式は

$\begin{align} [\mathbf{p}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E})]_i &= \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} p_j \partial_l E_m \\ &= (\delta_{il} \delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}) p_j \partial_l E_m \\ &= \partial_i \mathbf{p}\cdot\mathbf{E} - \mathbf{p}\cdot \pmb{\nabla}E_i \end{align}$

により確かめられる．これと(3.38)から

$\begin{align} \mathbf{F}(\mathbf{z}) &=-\pmb{\nabla}_\mathbf{z} V(\mathbf{z}) \\ &= \pmb{\nabla}_\mathbf{z}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{z})) \\ &= \mathbf{p}\cdot\pmb{\nabla}_\mathbf{z}\mathbf{E}(\mathbf{z})+\mathbf{p}\times(\pmb{\nabla}_\mathbf{z}\times \mathbf{E}(\mathbf{z})) \\ &= \mathbf{p}\cdot\pmb{\nabla}_\mathbf{z}\mathbf{E}(\mathbf{z}) \end{align}$

となり，(3.37)と一致する．

　トルクの計算では

$\begin{align} \mathbf{N}(\mathbf{z}) &= \int dV \mathbf{x}\times\varrho^P(\mathbf{x}-\mathbf{z})\mathbf{E}(\mathbf{x}) \\ &= -\int dV \mathbf{x}\times\mathbf{E}(\mathbf{x}) \mathbf{p}\cdot\pmb{\nabla}\delta(\mathbf{x}-\mathbf{z}) \\ &= \mathbf{p}\cdot\pmb{\nabla}_{\mathbf{z}} \int dV \mathbf{x}\times\mathbf{E}(\mathbf{x}) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{z}) \\ &= \mathbf{p}\cdot\pmb{\nabla}_{\mathbf{z}}(\mathbf{z}\times\mathbf{E}(\mathbf{z})) \\ &= \mathbf{p}\times\mathbf{E}(\mathbf{z}) + \mathbf{z}\times(\mathbf{p}\cdot\pmb{\nabla}_{\mathbf{z}})\mathbf{E}(\mathbf{z}) \\ &= \mathbf{p}\times\mathbf{E}(\mathbf{z}) + \mathbf{z}\times\mathbf{F}(\mathbf{z}) \end{align}$

となる．下3行の計算で(3.39)を使っており，(3.39)の2番目の等号は

$\begin{align} [\mathbf{p}\cdot\pmb{\nabla}_{\mathbf{z}}(\mathbf{z}\times\mathbf{E})]_i &= p_j \partial_j \epsilon_{ikm} z_k E_m \\ &= \epsilon_{ikm} p_j \delta_{jk} E_m + \epsilon_{ikm} p_j z_k \partial_j E_m \\ &= \epsilon_{ijm} p_j E_m + \epsilon_{ikm} z_k p_j \partial_j E_m \\ &= (\mathbf{p}\times\mathbf{E})_i + [\mathbf{z}\times(\mathbf{p}\cdot\pmb{\nabla})\mathbf{E}]_i \end{align}$

により確かめられる．