静電場の回転 - 河漢の戯言

　電荷密度 $\rho$ がつくる静電場は

$\begin{align} \mathbf{E}(\mathbf{r})= \int d^3r' \frac{\rho(\mathbf{r}')(\mathbf{r}-\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}} \end{align}$

で与えられる．静電場なのでこの回転は0でなければならない．

$\begin{align} \pmb{\nabla}\times\mathbf{E}(\mathbf{r})= \int d^3r' \, \rho(\mathbf{r}') \left( \pmb{\nabla}\times\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}} \right) \end{align}$

簡単のため $\mathbf{r}'=0$ で考えると

$\begin{align} \pmb{\nabla}\times\frac{\mathbf{r}} {r^{3}}=- \pmb{\nabla}\times \pmb{\nabla}\frac{1}{r} \tag{1} \label{1} \end{align}$

が0にならなければならない． $\pmb{\nabla}\times\pmb{\nabla}$ だから0になるというのは早計で，これは演算子なので注意深く調べる必要がある． $r\neq 0$ のときは成分ごとに計算すれば0になることがすぐにわかる．問題は $r=0$ の場合で，例えば

$\begin{align} -\nabla^2 \frac{1}{r} = 4\pi \delta(\mathbf{r}) \tag{2} \label{2} \end{align}$

であるように，0でない可能性がある．これを確かめるには，\eqref{2}の導出と同様に，\eqref{1}を原点のまわりに体積積分すればよい．

$\begin{align} \int d^3r \pmb{\nabla}\times\frac{\mathbf{r}} {r^{3}} \end{align}$

もしこれが0でない値を取れば， $r=0$ でデルタ関数的な寄与があることを意味する．この積分は発散定理を使って

$\begin{align} \int d^3r \pmb{\nabla}\times\frac{\mathbf{r}} {r^{3}} = \int dS \mathbf{n}\times \frac{\mathbf{r}} {r^{3}} \tag{3} \label{3} \end{align}$

と面積分にすることができる． $\mathbf{n}=\hat{\mathbf{r}}$ (単位動径ベクトル）とできるので，右辺は0である．よって左辺も0であり，\eqref{1} は $r=0$ の場合も0であることがわかる．

\eqref{3} を示すには $\mathbf{A}\times\mathbf{c}$ に発散定理を使う．

$\begin{align} \int d^3r \pmb{\nabla}\cdot (\mathbf{A}\times\mathbf{c}) = \int dS \mathbf{n}\cdot (\mathbf{A}\times\mathbf{c}) \end{align}$

$\mathbf{c}$ を定数ベクトルとすると $\pmb{\nabla}\cdot (\mathbf{A}\times\mathbf{c}) = \mathbf{c}\cdot(\pmb{\nabla}\times\mathbf{A})$ であり，また $\mathbf{n}\cdot (\mathbf{A}\times\mathbf{c}) =\mathbf{c}\cdot(\mathbf{n}\times\mathbf{A})$ であるので

$\begin{align} \mathbf{c}\cdot \int d^3r \pmb{\nabla}\times\mathbf{A} = \mathbf{c}\cdot\int dS \mathbf{n}\times \mathbf{A} \end{align}$

により\eqref{3}を得る．