ベクトル面積

 ベクトル面積(vector area)という量がある.英語版Wikipediaによると,面積分によって


 \begin{align} \mathbf{S}=\int d\mathbf{S} = \int \mathbf{n}\; dS \label{1} \tag{1} \end{align}


と定義される. \mathbf{n} は面上の単位法線ベクトル.日本語Wikipediaは現時点では存在しない.


 閉曲面のベクトル面積は曲面の形状によらずゼロになる.


 \begin{align} \oint d\mathbf{S} = 0 \label{2} \tag{2} \end{align}


証明は発散定理を使う.


 \begin{align} \int \pmb{\nabla}\cdot \mathbf{v} \, dV = \oint \mathbf{v}\cdot d\mathbf{S} \end{align}


 \mathbf{v} が定数ベクトルの場合,左辺は0になるので


 \begin{align} \mathbf{v}\cdot \oint d\mathbf{S} =0 \end{align}


により\eqref{2}を得る.


 閉曲面を2つの開いた曲面に分割すると,この2つの曲面は面の縁を共有する.


 \begin{align} \oint d\mathbf{S} = \int_{S_1} d\mathbf{S}+\int_{S_2} d\mathbf{S} =0 \end{align}


 S_2 の単位法線ベクトルの向きをひっくり返して S_1の単位法線ベクトルと同じ向きにすると,


 \begin{align} \int_{S_1} d\mathbf{S}=\int_{S_2} d\mathbf{S} \end{align}


となる.すなわち面の縁が同じで,面の「向き」も同じあれば曲面の形状に関係なく,ベクトル面積は同一の値になる.


 次に,開いた曲面の縁の部分である閉曲線を  C とすると, C 上の線積分について


 \begin{align} \mathbf{S}=\frac{1}{2} \oint_C \mathbf{r}\times d\mathbf{l} \label{3} \tag{3} \end{align}


である.下図のように, \mathbf{r}\times d\mathbf{l}/2 は原点を頂点とし,底辺を  d\mathbf{l} とする微小三角形の面積である.

これを C上で線積分すれば,円錐ような形の側面部分のベクトル面積が得られ,これは Sと縁を共有するから Sのベクトル面積に等しい.すなわち \eqref{3} を得る.


 さらに,定数ベクトル  \mathbf{c} に対して


 \begin{align} \mathbf{S}\times \mathbf{c} = \oint_C (\mathbf{c}\cdot\mathbf{r})d\mathbf{l} \label{4} \tag{4} \end{align}


が成り立つ.証明はストークスの定理を使う.


 \begin{align} \int (\pmb{\nabla}\times \mathbf{v}) \cdot d\mathbf{S} = \oint \mathbf{v}\cdot d\mathbf{l} \end{align}


 \mathbf{v} として定数ベクトル  \mathbf{k}スカラー関数  f の積  \mathbf{v}=\mathbf{k}f とおく.


 \begin{align} \pmb{\nabla}\times(\mathbf{k}f)=f\pmb{\nabla}\times\mathbf{k}-\mathbf{k}\times\pmb{\nabla}f =-\mathbf{k}\times\pmb{\nabla}f \end{align}


これからストークスの定理


 \begin{align} -\int (\mathbf{k}\times\pmb{\nabla}f)  \cdot d\mathbf{S} = \oint f\mathbf{k}\cdot d\mathbf{l} \end{align}


となるが,左辺はスカラー三重積なので


 \begin{align} -\int \mathbf{k}\cdot(\pmb{\nabla}f  \times d\mathbf{S}) = \oint f\mathbf{k}\cdot d\mathbf{l} \end{align}


となり,定数 \mathbf{k}積分から外して


 \begin{align} -\int \pmb{\nabla}f  \times d\mathbf{S} = \oint f\, d\mathbf{l} \end{align}


が成り立つ.ここで  f として  f=\mathbf{c}\cdot\mathbf{r} とすると


 \begin{align} \pmb{\nabla}(\mathbf{c}\cdot\mathbf{r})=\mathbf{c}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{r})+(\mathbf{c}\cdot\pmb{\nabla})\mathbf{r}=(\mathbf{c}\cdot\pmb{\nabla})\mathbf{r}=\mathbf{c} \end{align}


なので


 \begin{align} \oint_C (\mathbf{c}\cdot\mathbf{r})d\mathbf{l} = -\int \mathbf{c}\times d\mathbf{S} = -\mathbf{c}\times\int d\mathbf{S} = -\mathbf{c}\times\mathbf{S}=\mathbf{S}\times\mathbf{c} \end{align}


により\eqref{4}を得る.