ストークスの抵抗法則（その2）

　ストークスの抵抗法則

$\begin{align} F = 6 \pi\, \mu\, a\, U \end{align}$

を導く．流体のずり粘性率 $\mu$ の単位は $\mathrm{M(LT)}^{-1}$ なので， $\mu$ と球の半径 $a$ と球の速さ $U$ から力の単位 $\mathrm{MLT}^{-2}$ をつくろうとすると $\mu\, a\, U$ になる．よって問題は係数 $6\pi$ がどのように求められるかである．

　流体中の球の移動方向を $x$ 軸に取り，球の速さを $U$ とする．球とともに動く座標系で考えると，静止した球に $-x$ 軸方向に動く一様な流体がぶつかっていることになる．この座標系で，球の中心を原点にとり， $x$ 軸方向を $\theta=0$ の方向とする球座標 $(r, \theta, \phi)$ を設定する．流体が球にぶつかっても流れが定常流であるとすれば，流速は $x$ 軸に関して軸対称である．すなわち流速 $\mathbf{v}$ は $r, \theta$ の関数で， $\phi$ 成分 $v_\phi$ は0である．

　出発点となる式は遅い粘性流をあらわす，ストークス近似したナビエストークス方程式

$\begin{align} \pmb{\nabla}p = \mu \nabla^2 \mathbf{v} \label{1} \tag{1} \end{align}$

である（ $p(r, \theta)$ は圧力， $\mathbf{v}(r, \theta)$ は流速， $\mu$ はずり粘性率）．外力はないとしている．これに非圧縮性の条件

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v}=0 \label{2} \tag{2} \end{align}$

も加わる．\eqref{2} を球座標であらわすと

$\begin{align} \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial(\sin\theta\, v_\theta)}{\partial \theta}=0 \label{3} \tag{3} \end{align}$

である．このような軸対称な流速は，流れの関数 $\psi(r, \theta)$ によって

$\begin{align} v_r = \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial \psi}{\partial \theta},\qquad v_\theta = -\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial \psi}{\partial r} \label{4} \tag{4} \end{align}$