ストークスの抵抗法則（その5）

　前回で流れの関数が求まった．

$\begin{align} \psi(r,\theta)=-\frac{U}{4}\left( \frac{a^3}{r}-3ar+2r^2\right)\sin^2\theta \label{1} \tag{1} \end{align}$

これから流速が（その2）の(4)によって得られる．

$\begin{align} v_r = \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}= -\frac{U}{2}\left( \frac{a^3}{r^3}-\frac{3a}{r}+2 \right)\cos\theta \label{2} \tag{2} \\\\ v_\theta = -\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial \psi}{\partial r} =-\frac{U}{4}\left( \frac{a^3}{r^3}+\frac{3a}{r}-4 \right)\sin\theta \label{3} \tag{3} \end{align}$

圧力は（その3）の(6), (7)によって得られる．

$\begin{align} X\psi = -\frac{3aU}{2r}\sin^2\theta \end{align}$

により

$\begin{align} \frac{\partial p}{\partial r} &= \frac{\mu}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} X\psi = -\frac{3\mu aU}{r^3}\cos\theta \label{4} \tag{4} \\\\ \frac{\partial p}{\partial \theta} &= -\frac{\mu}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial r} X\psi = \frac{3\mu aU}{2r^2}\sin\theta \label{5} \tag{5} \end{align}$

積分すると， $p_0$ を定数として

$\begin{align} p = \frac{3\mu aU}{2r^2}\cos\theta + p_0 \label{6} \tag{6} \end{align}$

を得る．

　次に流速から変形速度テンソルを求める．球座標表示で

$\begin{align} e_{rr} &= \frac{\partial v_r}{\partial r} = \frac{3aU}{2r^2} \left(\frac{a^2}{r^2} - 1 \right)\cos\theta\\\\ e_{\theta\theta} &= \frac{v_r}{r}+ \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = -\frac{3aU}{4r^2}\left(\frac{a^2}{r^2}-1\right)\cos\theta \\\\ e_{\phi\phi} &= \frac{v_r}{r} + \frac{v_\theta\cot\theta}{r} = -\frac{3aU}{4r^2}\left(\frac{a^2}{r^2}-1\right)\cos\theta \\\\ e_{r\theta} &= \frac{1}{2}\left[ r\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{v_\theta}{r}\right) + \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}\right] = \frac{3a^3U}{4r^4} \sin\theta \\\\ e_{\theta\phi} &= e_{\phi r} = 0 \end{align}$

これらは球面上（ $r=a$ ）ではほとんどが0になり，

$\begin{align} e_{rr} &= e_{\theta\theta}=e_{\phi\phi}=e_{\theta\phi}=e_{\phi r}=0 \\\\ e_{r\theta} &= \frac{3U}{4a}\sin\theta \label{7} \tag{7} \end{align}$

になる．\eqref{6} と \eqref{7} より，球面上の応力は

$\begin{align} \mathbf{t}&=-\mathbf{e}_r\, p+2\mathbf{e}_\theta\, \mu e_{r\theta} \\\\ &= \frac{3\mu U}{2a}(-\mathbf{e}_r \cos\theta+\mathbf{e}_\theta \sin\theta)-p_0\mathbf{e}_r \label{8} \tag{8} \end{align}$

になる．

　\eqref{8}を球面全体にわたって積分すれば，球にかかる力が求まる．圧力 $p_0$ は球面全体に一様に加わるもので，球面全体で積分すれば0になる．残りの2項を積分するために，球座標からデカルト座標に変換する． $\theta=0$ 方向を $x$ 軸方向に選んでいたので

$\begin{align} \mathbf{e}_r &= \mathbf{e}_y \sin\theta\cos\phi + \mathbf{e}_z \sin\theta\sin\phi + \mathbf{e}_x \cos\theta \label{9} \tag{9} \\\\ \mathbf{e}_\theta &= \mathbf{e}_y \cos\theta\cos\phi + \mathbf{e}_z \cos\theta \sin\phi -\mathbf{e}_x \sin\theta \label{10} \tag{10} \end{align}$

であるから，これらを\eqref{8}に代入して角度積分する． $y, z$ 方向の力については， $\phi$ 積分が

$\begin{align} \int_0^{2\pi}d\phi\,\cos\phi = \int_0^{2\pi}d\phi\,\sin\phi=0 \end{align}$

なので0になる． $x$ 方向の力は， $p, e_{r\theta}$ それぞれからの寄与に対して

$\begin{align} F_x^{(p)} &= -\frac{3\mu U}{2a}\cdot a^2 \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi d\theta\, \sin\theta\cos^2\theta = -2\pi \mu a U \label{11} \tag{11}\\\\ F_x^{(e)} &= -\frac{3\mu U}{2a}\cdot a^2 \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi d\theta\, \sin^3\theta = -4\pi \mu a U \label{12} \tag{12} \end{align}$

となる．つまり球全体にかかる力は

$\begin{align} F_x = F_x^{(p)} + F_x^{(e)} = -6\pi \mu a U \label{13} \tag{13}\end{align}$

となる．マイナスは $-x$ 軸方向への力であることを表す．これでストークスの抵抗法則が導かれた．