ストークスの抵抗法則（その3）

流体力学一般

　ワインバーグの量子力学が文庫で発売されていて驚いた．大学生向けの教科書とはみなされていないということか．


　さて 前回の流体方程式(1)を再録する．

\begin{align} \pmb{\nabla}p = \mu \nabla^2 \mathbf{v} \label{1} \tag{1} \end{align}


流速 \mathbf{v} が r, \theta の関数なので，圧力 p も r, \theta の関数である．そのため \eqref{1}の左辺は


\begin{align} \pmb{\nabla}p = \mathbf{e}_r \frac{\partial p}{\partial r} + \frac{\mathbf{e}_\theta}{r} \frac{\partial p}{\partial \theta} \label{2} \tag{2} \end{align}


と書ける．\eqref{1}の右辺はベクトルラプラシアンであるが，非圧縮性の条件（前回の(2)式）により \nabla^2 \mathbf{v} = -\pmb{\nabla}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{v}) である．これを書き下すには，次の演算子を定義しておくと便利である．


\begin{align} X \equiv \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \label{3} \tag{3} \end{align}


微分は X の右にくるすべての関数にもかかることに注意．これを使うと


\begin{align} \pmb{\nabla}\times\mathbf{v} &= \frac{\mathbf{e}_\phi}{r} \left[ \frac{\partial (r v_\theta)}{\partial r} -\frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right]=- \frac{\mathbf{e}_\phi}{r\sin\theta}X\psi \label{4} \tag{4} \\\\ \pmb{\nabla}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{v}) &= -\frac{\mathbf{e}_r}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}X\psi + \frac{\mathbf{e}_\theta}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial r}X\psi \label{5} \tag{5} \end{align}


となる． \psi(r,\theta) は前回の(4)の流れの関数である．\eqref{2} と \eqref{5} を \eqref{1} に代入して成分ごとに表すと


\begin{align} \frac{\partial p}{\partial r} &= \frac{\mu}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} X\psi \label{6} \tag{6} \\\\ \frac{\partial p}{\partial \theta} &= -\frac{\mu}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial r} X\psi \label{7} \tag{7} \end{align}


となり，\eqref{6} の両辺を \theta で微分し，\eqref{7} の両辺を r で微分して各辺どうしを引くと，圧力の項が消え


\begin{align} 0 = \frac{\mu}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}(X\psi) +\frac{\mu}{\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial r^2}(X\psi) \end{align}


になるが，両辺を \mu/r^2 で割ると


\begin{align} X^2\psi = 0 \label{8} \tag{8} \end{align}


という形になる．

　次回は \eqref{8} を解いて \psi を求める．