テンソルのnotation - 河漢の戯言

　2階テンソルの notation は本によって違う．内積は

$\begin{align} A:B = A_{ij} B_{ij} \mathrm{\quad or\quad } A_{ij} B_{ji} \end{align}$

の2通りの定義がある．発散も

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot\ A = \frac{\partial A_{ij}}{\partial x_i} e_j \mathrm{\quad or\quad } \frac{\partial A_{ij}}{\partial x_j} e_i \end{align}$

の2通りある（ $e_j$ は基底）．回転の定義も同様．ベクトルの勾配は多くの本では

$\begin{align} (\pmb{\nabla}v)_{ij} = \nabla_j v_i \end{align}$

であるが，一部で

$\begin{align} (\pmb{\nabla}v)_{ij} = \nabla_i v_j \end{align}$

と定義する本もある．テンソルを扱っている本を見る場合，必ずこれらの定義を確認する必要がある．