ロドリゲスの回転公式（クォータニオンによる説明その1）

　2つの単位ベクトル $\mathbf{r},\ \mathbf{p}$ のなす角を $\theta/2$ とする．次の2つの量を定義する．

$\begin{align} \xi_0 = \mathbf{r}\cdot\mathbf{p} = \cos\frac{\theta}{2},\quad \boldsymbol{\xi} = \mathbf{r}\times \mathbf{p} \equiv \mathbf{n} \sin\frac{\theta}{2} \tag{1} \label{1} \end{align}$

これから

$\begin{align} \xi_0^2 + \xi^2 = 1,\quad \xi^2 \equiv |\boldsymbol{\xi}|^2 \end{align}$

を満たす． $\mathbf{p}$ は

$\begin{align} \xi_0 \mathbf{r} + \boldsymbol{\xi}\times\mathbf{r} &= (\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} +(\mathbf{r}\times \mathbf{p} )\times \mathbf{r} \\\\ &= (\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - (\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} + |\mathbf{r}|^2\mathbf{p} \\\\ &= \mathbf{p} \end{align}$

のように表される．

　次に，単位ベクトル $\mathbf{p},\ \mathbf{s}$ の関係として

$\begin{align} \xi'_0 = \mathbf{p}\cdot\mathbf{s}, \quad \boldsymbol{\xi}'=\mathbf{p}\times\mathbf{s} \tag{2} \label{2} \end{align}$

であるとする．まず

$\begin{align} \boldsymbol{\xi}' \times (\boldsymbol{\xi}\times\mathbf{r}) &= (\boldsymbol{\xi}' \times \boldsymbol{\xi})\times\mathbf{r} -(\boldsymbol{\xi}'\cdot\boldsymbol{\xi})\mathbf{r} + (\boldsymbol{\xi}\cdot\mathbf{r})\boldsymbol{\xi}' \\\\ &= (\boldsymbol{\xi}' \times \boldsymbol{\xi})\times\mathbf{r} -(\boldsymbol{\xi}'\cdot\boldsymbol{\xi})\mathbf{r} \end{align}$

であることに注意すると

$\begin{align} \mathbf{s} &= \xi'_0 \mathbf{p} + \boldsymbol{\xi}'\times \mathbf{p} \\\\ &= \xi'_0 (\xi_0 \mathbf{r} + \boldsymbol{\xi}\times\mathbf{r}) + \boldsymbol{\xi}' \times (\xi_0\mathbf{r} + \boldsymbol{\xi}\times\mathbf{r}) \\\\ &= \xi'_0 \xi_0 \mathbf{r} - (\boldsymbol{\xi}'\cdot\boldsymbol{\xi})\mathbf{r} + \xi_0 (\boldsymbol{\xi}'\times\mathbf{r}) + \xi'_0 \boldsymbol{\xi}\times \mathbf{r} + (\boldsymbol{\xi}'\times\boldsymbol{\xi})\times \mathbf{r} \\\\ &\equiv \xi''_0 \mathbf{r} + \boldsymbol{\xi}''\times \mathbf{r} \end{align}$

$\begin{align} \xi''_0 = \xi'_0 \xi_0 - \boldsymbol{\xi}'\cdot\boldsymbol{\xi},\quad \boldsymbol{\xi}'' = \xi_0 \boldsymbol{\xi}' + \xi'_0 \boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\xi}'\times\boldsymbol{\xi} \tag{3} \label{3} \end{align}$

である．さらに

$\begin{align} \boldsymbol{\xi}'\cdot\mathbf{r} = (\mathbf{p}\times\mathbf{s})\cdot \mathbf{r} = (\mathbf{r}\times\mathbf{p})\cdot\mathbf{s} = [\mathbf{r}\times(\boldsymbol{\xi}\times\mathbf{r})]\cdot\mathbf{s} =\boldsymbol{\xi}\cdot\mathbf{s} \end{align}$

$\begin{align} (\boldsymbol{\xi}'\times\boldsymbol{\xi})\cdot\mathbf{r} = -[\boldsymbol{\xi}\times(\mathbf{p}\times\mathbf{s})]\cdot\mathbf{r} = -(\boldsymbol{\xi}\cdot\mathbf{s})(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}) + (\boldsymbol{\xi}\cdot\mathbf{p})(\mathbf{s}\cdot\mathbf{r}) = -\xi_0 (\boldsymbol{\xi}\cdot\mathbf{s}) \end{align}$

を使うと

$\begin{align} \boldsymbol{\xi}''\cdot\mathbf{r} = \xi_0 \boldsymbol{\xi}'\cdot\mathbf{r} + (\boldsymbol{\xi}'\times\boldsymbol{\xi})\cdot\mathbf{r} = \xi_0 (\boldsymbol{\xi}\cdot\mathbf{s}) - \xi_0 (\boldsymbol{\xi}\cdot\mathbf{s}) =0 \end{align}$

である．これから

$\begin{align} \mathbf{r}\cdot\mathbf{s} &= \xi''_0 + \mathbf{r}\cdot(\boldsymbol{\xi}''\times\mathbf{r}) = \xi''_0 = \cos\frac{\theta''}{2} \tag{4} \label{4} \\\\ \mathbf{r}\times\mathbf{s} &=\mathbf{r}\times(\boldsymbol{\xi}''\times\mathbf{r}) = \boldsymbol{\xi}'' - (\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\xi}'')\mathbf{r} = \boldsymbol{\xi}'' = \mathbf{n}'' \sin\frac{\theta''}{2} \tag{5} \label{5} \end{align}$

となる．よって $\mathbf{r}$ と $\mathbf{s}$ の間にも同じ関係がある．

　まとめると，単位ベクトル $\mathbf{r},\ \mathbf{p}$ の間に \eqref{1} の関係があり，単位ベクトル $\mathbf{p}, \ \mathbf{s}$ の間に \eqref{2} の関係があると，単位ベクトル $\mathbf{r}, \ \mathbf{s}$ の間にも同様な関係 \eqref{4}, \eqref{5} がある．