能動的回転と受動的回転

ベクトル $\mathbf{r}$ を成分と基底に分け（和の規約を使って）

$\begin{align} \mathbf{r} = x_i \mathbf{e}_i \end{align}$

としたとき，能動的回転は成分 $x_i$ の変換，受動的回転は基底 $\mathbf{e}_i$ の変換である．

$\begin{align} \mathbf{r}' = x_i' \mathbf{e}_i = x_i \mathbf{e}'_i \tag{1} \label{1} \end{align}$

受動的回転の回転行列 $R_p$ は

$\begin{align} \mathbf{e}'_i = (R_p)_{ij} \mathbf{e}_j,\qquad \mathbf{e}_i = (R_p^{-1})_{ij} \mathbf{e}'_j \end{align}$

を満たす．\eqref{1}に代入すると

$\begin{align} x_i' \mathbf{e}_i = x_i \mathbf{e}'_i = x_i (R_p)_{ij} \mathbf{e}_j =x_j (R_p)_{ji} \mathbf{e}_i \end{align}$

すなわち $x_i$ は

$\begin{align} x'_i = x_j(R_p)_{ji} = (R_p^t)_{ij} x_j \end{align}$

と変換する（ $t$ は転置を表す）．回転行列 $R_p$ は直交行列なので， $R_p^t = R_p^{-1}$ であるから

$\begin{align} x'_i = (R_p^{t})_{ij} x_j = (R_p^{-1})_{ij} x_j \end{align}$

になる．よって能動的回転の回転行列 $R_a$ は

$\begin{align} R_a = R_p^t = R_p^{-1} \end{align}$

になる．逆行列は逆回転を意味するので，能動的回転は受動的回転の逆回転を意味する．

　 $\mathbf{r}$ の能動的回転を

$\begin{align} \mathbf{r}' = R_a \mathbf{r} \end{align}$

と書くことがあるが，それは $\mathbf{r}$ の成分表示によって

$\begin{align} \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix}= R_a \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{align}$

を意味する．