オイラー角（能動的回転）

　能動的回転，すなわち座標系を固定して物体を回転させる場合を考える．

1. 物体を $z$ 軸のまわりに角度 $\alpha$ 回転させる．これにより物体に固定された $y$ 軸は $y'$ 軸に移る．

2. 物体を $y'$ 軸のまわりに角度 $\beta$ 回転させる．これにより物体に固定された $z$ 軸は $z'$ 軸に移る．

3. 物体を $z'$ 軸のまわりに角度 $\gamma$ 回転させる．これにより物体に固定された $y'$ 軸は $y''$ 軸に移る．

式で表すと

$\begin{align} R_a(\alpha, \beta, \gamma) \equiv R_{z'}(\gamma) R_{y'}(\beta) R_{z}(\alpha) \tag{1} \label{1} \end{align}$

である． $R_a$ の $a$ は能動的回転を表す． $R_{z}(\alpha)$ などはオイラー角（受動的回転）のところで定義した各座標軸のまわりの回転行列である． $R_{y'}(\beta)$ は空間に固定されたxyz座標系で表されるので， $y'$ 軸方向のまわりの回転をxyz座標系で表す必要がある．そこでオイラー角（受動的回転）のところでも行ったように， $y'$ 軸のまわりの回転を，空間に固定された座標系xyzの各座標軸のまわりの回転で表すことにする．例えば $y'$ 軸のまわりの角度 $\beta$ の回転は， $z$ 軸のまわりに角度 $-\alpha$ だけ回転して $y'$ 軸を $y$ 軸に一致させ， $y$ 軸のまわりに角度 $\beta$ だけ回転してから,再び $z$ 軸のまわりの角度 $\alpha$ だけ回転させることで得られる．

$\begin{align} R_{y'}(\beta)= R_z(\alpha) R_y(\beta) R_z(-\alpha) = R_z(\alpha) R_y(\beta) R^{-1}_z(\alpha) \tag{2} \label{2} \end{align}$

$R_{z'}(\gamma)$ も同じ方法により $y'$ 軸のまわりに角度 $-\beta$ 回転させて $z'\to z$ としてから $z$ 軸のまわりに角度 $\gamma$ 回転させ，再び $y'$ 軸のまわりに角度 $\beta$ 回転させて $z\to z'$ とする．

$\begin{align} R_{z'}(\gamma) &= R_{y'}(\beta) R_z(\gamma) R^{-1}_{y'}(\beta) \\\\ &= [R_{z}(\alpha) R_y(\beta) R^{-1}_z(\alpha) ]\ R_z(\gamma) \ [ R_z(\alpha)R^{-1}_y(\beta)R^{-1}_{z}(\alpha)] \\\\ &= R_{z}(\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma)R^{-1}_y(\beta)R^{-1}_{z}(\alpha) \tag{3} \label{3} \end{align}$

\eqref{2}と\eqref{3}を\eqref{1}に代入すれば

$\begin{align} R_a(\alpha, \beta, \gamma) &= R_{z}(\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma)R^{-1}_y(\beta)R^{-1}_{z}(\alpha) R_z(\alpha) R_y(\beta) R^{-1}_z(\alpha) R_{z}(\alpha) \\\\ &= R_{z}(\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma)R^{-1}_y(\beta)R^{-1}_{z}(\alpha) R_z(\alpha) R_y(\beta) \\\\ &= R_{z}(\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma) \tag{4} \label{4} \end{align}$

となる．回転の順序は $\alpha\to \beta\to\gamma$ であるが，回転行列は逆の順に作用させることになる．