ロドリゲスの回転公式（回転行列による説明その1）

　「空間の回転行列」で示したように，x, y, z軸まわりの回転を表す回転行列を

$\begin{align} R(\mathbf{e}_x, \theta)&=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0& \sin\theta & \cos\theta\\ \end{pmatrix} \\\\ R(\mathbf{e}_y, \theta)&= \begin{pmatrix} \cos\theta &0 &\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta\\ \end{pmatrix} \\\\ R(\mathbf{e}_z, \theta)&=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta &0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{align}$

としておく．これらを使って回転軸 $\mathbf{n}$ のまわりの回転を表すには，一度微小回転にしてからx，y，z軸のまわりの回転を合わせる．微小回転は回転の順序に関係なく回転行列をかけることができる．

角度 $\theta$ が微小 $\delta\theta$ であるとき， $\cos\delta\theta\simeq 1, \sin\delta\theta\simeq \delta\theta$ であるから

$\begin{align} R(\mathbf{e}_z, \delta\theta)=I+\delta\theta \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{align}$

$\begin{align} R(\mathbf{e}_x, \delta\theta)=I+\delta\theta \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{align}$

$\begin{align} R(\mathbf{e}_y, \delta\theta)=I+\delta\theta \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 &0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{align}$

となる． $I$ は3行3列の恒等行列である．

$\mathbf{n}$ 方向を回転軸とする微小角度の回転を， $\mathbf{e}_x$ 軸方向に角度 $n_x \delta\theta$ の回転， $\mathbf{e}_y$ 軸方向に角度 $n_y \delta\theta$ の回転， $\mathbf{e}_z$ 軸方向に角度 $n_z \delta\theta$ の回転で表し，

$\begin{align} \mathbf{n}=n_x \mathbf{e}_x + n_y \mathbf{e}_y+n_z \mathbf{e}_z,\qquad |\mathbf{n}|^2=1 \end{align}$

であるとする． $\delta\theta$ の1次まで考える場合，各軸のまわりの回転の順序によらないので $R$ をかける順序によらず

$\begin{align} R(\mathbf{n}, \delta \theta) &=R(\mathbf{e}_x, n_x \delta\theta)R(\mathbf{e}_y, n_y \delta\theta)R(\mathbf{e}_z, n_z \delta\theta)　 \\\\ &\simeq I +\delta\theta \begin{pmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 &-n_x \\ -n_y & n_x & 0\end{pmatrix} \label{201107-1} \end{align}$

となる．ここでエルミート行列

$\begin{align} L_x = i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} ,\ L_y = i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 &0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix} ,\ L_z = i \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{align}$

と定義する． $i$ をかけたのはエルミートにするためである．このとき

$\begin{align} R(\mathbf{n}, \delta \theta) \simeq I - i\mathbf{L}\cdot\mathbf{n} \delta\theta \end{align}$

と書ける．これから（微小でない）有限の角度 $\theta$ の回転行列をつくることができる．微小な回転を無限回行い， $\delta\theta=\theta/N$ として

$\begin{align} R(\mathbf{n}, \theta) = \lim_{N\to\infty} \left( I-\frac{i\mathbf{L}\cdot\mathbf{n} \theta}{N}\right)^N = e^{-i\mathbf{L}\cdot\mathbf{n} \theta} \end{align}$

となる．右辺の指数関数を三角関数で表現し直すと，ロドリゲスの回転公式を導くことを次回示す．