オイラー角（受動的回転）

　前回は各座標軸を回転軸とする回転を考えたが，今回は空間内の任意の回転を表すオイラー角を扱う．まず受動的回転，すなわち物体を固定して座標系（座標軸）を回転させる場合を考える．

1. 座標系を $z$ 軸のまわりに角度 $\alpha$ 回転させる．これにより $y$ 軸は $y'$ 軸に移る．

2. 座標系を $y'$ 軸のまわりに角度 $\beta$ 回転させる．これにより $z$ 軸は $z'$ 軸に移る．

3. 座標系を $z'$ 軸のまわりに角度 $\gamma$ 回転させる．これにより $y'$ 軸は $y''$ 軸に移る．

　これらを式で表せば，空間の回転行列で定義した行列

$\begin{align} R_x(\theta) &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \\\\ R_y(\theta) &= \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \\\\ R_z(\theta) &= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \end{align}$

を使って

$\begin{align} R_p(\alpha, \beta, \gamma) &\equiv R_{z'}(-\gamma) R_{y'}(-\beta) R_{z}(-\alpha) \tag{1} \label{1} \\\\ &= \begin{pmatrix} \cos\gamma & \sin\gamma & 0 \\ -\sin\gamma & \cos\gamma &0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta &0 &-\sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\beta & 0 & \cos\beta\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0 \\ -\sin\alpha & \cos\alpha &0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \\\\ &= \begin{pmatrix} -s_\alpha s_\gamma+c_\alpha c_\beta c_\gamma & c_\alpha s_\gamma+s_\alpha c_\beta c_\gamma & -s_\beta c_\gamma \\ -s_\alpha c_\gamma -c_\alpha c_\beta s_\gamma & c_\alpha c_\gamma- s_\alpha c_\beta s_\gamma & s_\beta s_\gamma \\ c_\alpha s_\beta & s_\alpha s_\beta & c_\beta \end{pmatrix} \end{align}$

になる．ここで $s_\alpha=\sin\alpha,\ c_\beta=\cos\beta$ などとした． $R_p$ の $p$ は受動的回転を表す． $R_z(\theta)$ は能動的回転として定義されているので $R_z(-\alpha)$ などと引数に負号がついている（これで座標軸が正方向に回転する）．2番目の $R$ が $R_y(-\beta)$ ではなく $R_{y'}(-\beta)$ であるのは， $R_z(-\alpha)$ によって座標系が $x' y' z$ 系に移っており，その座標系に対する回転であるためである． $R_{z'}(-\gamma)$ も同じ．

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　 $R_{y'}(-\beta)$ や $R_{z'}(-\gamma)$ を，回転前の座標軸のまわりの回転 $R_x, R_y, R_z$ で表したい場合もある（例えば量子力学の回転演算子）．これは以下のように行う．図のように，ベクトル $\mathbf{n}$ のまわりの角度 $\theta$ の回転は， $\mathbf{n}\to\mathbf{m}$ とベクトル自身を（別の回転軸により）回転させてから $\mathbf{m}$ のまわりに角度 $\theta$ 回転させ，最後に $\mathbf{m}\to\mathbf{n}$ とベクトル自身を回転させることで実現できる．このことから， $R_{y'}(-\beta)$ は，まず $z$ 軸のまわりに角度 $+\alpha$ だけ回転して $y'$ 軸を $y$ 軸に一致させ， $y$ 軸のまわりに角度 $-\beta$ だけ回転してから，再び $z$ 軸のまわりに角度 $-\alpha$ だけ回転させることで得られる．

$\begin{align} R_{y'}(-\beta)= R_z(-\alpha) R_y(-\beta) R_z(\alpha) = R_z(-\alpha) R_y(-\beta) R^{-1}_z(-\alpha) \tag{2} \label{2} \end{align}$

$R_{z'}(-\gamma)$ も同じ方法により， $y'$ 軸のまわりに角度 $+\beta$ 回転させて $z'\to z$ としてから $z$ 軸のまわりに角度 $-\gamma$ 回転させ，再び $y'$ 軸のまわりに角度 $-\beta$ 回転させて $z\to z'$ とする．

$\begin{align} R_{z'}(-\gamma) &= R_{y'}(-\beta) R_z(-\gamma) R^{-1}_{y'}(-\beta) \\\\ &= [R_{z}(-\alpha) R_y(-\beta) R^{-1}_z(-\alpha) ]\ R_z(-\gamma) \ [ R_z(-\alpha)R^{-1}_y(-\beta)R^{-1}_{z}(-\alpha)] \\\\ &= R_{z}(-\alpha) R_y(-\beta) R_z(-\gamma)R^{-1}_y(-\beta)R^{-1}_{z}(-\alpha) \tag{3} \label{3} \end{align}$

\eqref{2}, \eqref{3}を\eqref{1}を代入すると

$\begin{align} R_p(\alpha, \beta, \gamma) &\equiv R_{z'}(-\gamma) R_{y'}(-\beta) R_{z}(-\alpha) \\\\ &= [R_{z}(-\alpha) R_y(-\beta) R_z(-\gamma)R^{-1}_y(-\beta)R^{-1}_{z}(-\alpha)] \\\\ &\ \times [R_z(-\alpha) R_y(-\beta) R^{-1}_z(-\alpha)]\ R_{z}(-\alpha) \\\\ &= R_{z}(-\alpha) R_y(-\beta) R_z(-\gamma) \tag{4} \label{4} \end{align}$

になる．回転の順序は $-\alpha\to-\beta\to-\gamma$ であるが，回転行列を作用させる順序が逆になる．

　上のオイラー角は $z\to y' \to z'$ の順で回転したが， $z\to x' \to z'$ の順で回転してもよい．この場合もオイラー角と呼ばれ，主に力学で使われる． $z\to y' \to z'$ のオイラー角は主に量子力学で使われる．理由はウィグナーの $d$ 関数と呼ばれる関数が実数関数になるからである．