コンドン-ショートレー位相

　以前の量子力学の本では，球面調和関数の定義は次のように書かれていた。

$\begin{align} Y^m_{l}(\theta, \phi) = (-1)^m \sqrt{ \frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P^m_l(\cos\theta)e^{im\phi} \end{align}$

最近の本では次のような定義になっているものが増えてきている．

$\begin{align} Y^m_{l}(\theta, \phi) = \sqrt{ \frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P^m_l(\cos\theta)e^{im\phi} \end{align}$

いずれも $m\geq 0$ の場合である．両者の違いはコンドン-ショートレー位相と呼ばれる $(-1)^m$ の有無である．実は，最近の定義はこの位相が無くなったわけではなく，ルジャンドル陪多項式 $P^m_l(\cos\theta)$ の定義に位相が含まれるようになっている．すなわち $(-1)^m P^m_l(\cos\theta)$ を新しいルジャンドル陪多項式の定義としている．例えば，D.J. Griffiths, "Introduction to Quantum Mechanics" 2nd ed. (Pearson 2005) では古い定義を使っているが，2018年の第3版では新しい定義に変わっている．またアルフケン-ウェーバーの物理数学の本でも，日本語版がある第4版（1996年，日本語版は2001年）では古い定義だが，2012年の第7版では新しい定義になっている．さらに英語版 Wikipedia や Mathematica も新しい定義が使われている．はっきりした理由はわからないが，"AMS-55"として知られる，M. Abramowitz and I. A. Stegun eds., "Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables" (National Bureau of Standards 1972) の定義に合わせたのかもしれない．