ラゲール多項式（その2）

　ラゲール多項式のどの定義を使うべきか迷うところだが，個人的にはNISTのDLMFによる定義を使うのが無難だと思っている．DLMFではラゲール（陪）多項式の定義はその1の(2)式と(4)式である．また前回，J. J. サクライの量子力学第2版では(1)式や(3)式が使われていると書いたが，最近出版された第3版では(2)式や(4)式の定義に変わっているらしい．

　
　DLMFによるとラゲール陪多項式の母関数は

$\begin{align} (1-z)^{-m-1}\exp\left(\frac{xz}{z-1}\right) = \sum_{n=0}^\infty L_n^m(x)z^n \end{align}$

であるが，2007年に新しい母関数が発見されている．

$\begin{align} e^{-zx} (1+z)^l = \sum_{n=0}^\infty L_n^{l-n}(x) z^n \end{align}$

出典は H.J. Weber, Cent. Eur. J. Math 5, 417 (2007) [ arxiv:0706.3003 ] で，Arfken-Weber-Harris 第7版にも載っている．