ロドリゲスの回転公式（幾何学的な説明）

[参考]
1. 金沢工業大学 KIT 物理ナビゲーション「ロドリゲスの回転公式」

2. H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, 矢野忠(訳), 江沢康生(訳), 渕崎員弘(訳) 「古典力学 (上)」原著第3版, 吉岡書店 (2006) P213

　ベクトル $\mathbf{r}$ を， $\mathbf{n}$ を単位ベクトルとする回転軸のまわりに角度 $\theta$ だけ回転させ，回転後のベクトルを $\mathbf{r}'$ とする．回転方向は回転軸に対して右ねじの法則に従うとする． $\mathbf{r'}$ を $\mathbf{r}, \mathbf{n}, \theta$ で表した式が次のロドリゲスの回転公式である．

$\begin{align} \mathbf{r}' &= \mathbf{r} \cos\theta + (1-\cos\theta)(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} + (\mathbf{n}\times\mathbf{r})\sin\theta \tag{1} \label{1} \end{align}$

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以下で\eqref{1}を導く．まず上図のように設定する．

$\begin{align} \mathbf{r}' = \overrightarrow{\mathrm{OO'}}+\overrightarrow{\mathrm{O'P'}} \end{align}$

と分解すると，

$\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OO'}}= (\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} \end{align}$

$\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{O'P'}} &= \mathrm{O'P'}\cos\theta\; \mathbf{e}_x + \mathrm{O'P'}\sin\theta\; \mathbf{e}_y \\\\ &= \overrightarrow{\mathrm{O'P}}\cos\theta + \overrightarrow{\mathrm{O'Q}}\sin\theta \end{align}$

となる． $\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y$ はそれぞれ $x, y$ 軸方向の単位ベクトルである． $\overrightarrow{\mathrm{O'P}}$ は

$\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{O'P}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OO'}} = \mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} \end{align}$

になる． $\overrightarrow{\mathrm{O'Q}}$ を計算するには， $\overrightarrow{\mathrm{O'Q}}$ が $y$ 軸方向， $\overrightarrow{\mathrm{O'P}}$ が $x$ 軸方向， $\mathbf{n}$ が $z$ 軸方向にあることを考えてベクトル積 $\mathbf{e}_y=\mathbf{e}_z\times\mathbf{e}_x$ を使う．

$\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{O'Q}} &= \mathbf{e}_z \times \overrightarrow{\mathrm{O'P}} = \mathbf{n} \times \overrightarrow{\mathrm{O'P}} \\\\ &= \mathbf{n}\times [ \mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} ] = \mathbf{n}\times\mathbf{r} \end{align}$

これより

$\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{O'P'}} = [ \mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} ] \cos\theta + (\mathbf{n}\times\mathbf{r})\sin\theta \end{align}$

となるので， $\overrightarrow{\mathrm{OO'}}$ と合わせて

$\begin{align} \mathbf{r}' &= (\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} + [ \mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} ] \cos\theta + (\mathbf{n}\times\mathbf{r})\sin\theta \\\\ &= \mathbf{r} \cos\theta + (1-\cos\theta)(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} + (\mathbf{n}\times\mathbf{r})\sin\theta \end{align}$

となり\eqref{1}を得る.

　この導出では $\mathbf{n}$ を $z$ 軸方向， $\overrightarrow{\mathrm{O'P}}$ を $x$ 軸方向に取ったが，\eqref{1}は $\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z$ にあからさまにはよらないので，任意方向の $\mathbf{n}, \mathbf{r}$ について成り立つ．