ロドリゲスの回転公式（クォータニオンによる説明その2）

　前回使った $\xi_0$ と $\boldsymbol{\xi}$ はクォータニオン（四元数，しげんすう）を使うとひとまとめに扱うことができる．クォータニオンは3種類の「虚数」 $i, j, k$ を使って定義される．

$\begin{align} \breve{\xi} \equiv \xi_0 1 + \xi_1 i + \xi_2 j+\xi_3 k = \xi_0 + \boldsymbol{\xi} \end{align}$

$\begin{align} ij = ji = k,\ \ jk=-kj = i,\ \ ki=-ik=j,\ \ i^2=j^2=k^2=-1 \end{align}$

「 $\breve{}$ 」はクォータニオンを表す記号とする．このとき

$\begin{align} \breve{\xi}'' &\equiv \breve{\xi}' \breve{\xi} \\\\ &= ( \xi'_0 + \xi'_1 i + \xi'_2 j+\xi'_3 k )( \xi_0 + \xi_1 i + \xi_2 j+\xi_3 k ) \\\\ &= (\xi'_0 \xi_0 - \xi'_1 \xi_1 - \xi'_2 \xi_2 - \xi'_3 \xi_3) +(\xi'_0 \xi_1+\xi'_1\xi_0+\xi'_2 \xi_3 - \xi'_3 \xi_2)i \\\\ &\ + (\xi'_0 \xi_2+\xi'_2\xi_0+\xi'_3 \xi_1 - \xi'_1 \xi_3)j +(\xi'_0 \xi_3+\xi'_3\xi_0+\xi'_1 \xi_2 - \xi'_2 \xi_1)k \\\\ &= \xi'_0 \xi_0 - \boldsymbol{\xi}'\cdot\boldsymbol{\xi} + \xi_0 \boldsymbol{\xi}' + \xi'_0 \boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\xi}'\times\boldsymbol{\xi} \tag{1} \label{1} \end{align}$

となる．これはその1の(3)式と同じ表式である．

　クォータニオンはスカラー $\xi_0$ と3次元ベクトル $\boldsymbol{\xi}$ の組 $(\xi_0, \boldsymbol{\xi})$ であって，積の演算規則

$\begin{align} (\xi'_0, \boldsymbol{\xi}')(\xi_0, \boldsymbol{\xi})=(\xi'_0 \xi_0-\boldsymbol{\xi}'\cdot\boldsymbol{\xi}, \ \xi_0\boldsymbol{\xi}'+\xi'_0\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\xi}'\times\boldsymbol{\xi}) \end{align}$

を満たすもの，と考えることもできる． $\boldsymbol{\xi}$ は通常のベクトルとみなして計算できる．

　3次元空間の単位ベクトルをクォータニオンを使って

$\begin{align} \breve{r} = x_1 i+x_2 j + x_3 k = \mathbf{r},\quad x_0=0, \quad x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 \end{align}$

と定義する．このとき $\breve{r}$ の回転は

$\begin{align} \breve{r}' = \breve{\xi} \breve{r} \breve{\xi}^\dagger \end{align}$

で与えられる．ここで

$\begin{align} \breve{\xi}^\dagger = \xi_0 - \boldsymbol{\xi} \end{align}$

である．

確認

\eqref{1}の規則を使うと

$\begin{align} \breve{r}^{\prime} &=\left(\xi_{0}+\boldsymbol{\xi}\right) \mathbf{r}\left(\xi_{0}-\boldsymbol{\xi}\right) \\\\ &=\left(\xi_{0}+\boldsymbol{\xi}\right)\left(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\xi}+\xi_{0} \mathbf{r}-\mathbf{r} \times \boldsymbol{\xi}\right) \\\\ &=\xi_{0}(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\xi})-\boldsymbol{\xi} \cdot\left(\xi_{0} \mathbf{r}-\mathbf{r} \times \boldsymbol{\xi}\right)+\xi_{0}\left(\xi_{0} \mathbf{r}-\mathbf{r} \times \boldsymbol{\xi}\right)+(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\xi}) \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\xi} \times\left(\xi_{0} \mathbf{r}-\mathbf{r} \times \boldsymbol{\xi}\right) \\\\ &=\left(\xi_{0}^{2}-\xi^{2}\right) \mathbf{r}-2 \xi_{0}(\mathbf{r} \times \boldsymbol{\xi})+2(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\xi}) \boldsymbol{\xi} \\\\ &=(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)) \mathbf{r} -2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) (\mathbf{r}\times\mathbf{n})+2\sin^2(\theta/2) \mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} \\\\ &=\mathbf{r} \cos (\theta)-(\mathbf{r} \times \mathbf{n}) \sin (\theta)+(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n}(1-\cos (\theta)) \\\\ &=(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n}+[\mathbf{r}-(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n}] \cos (\theta)+(\mathbf{n} \times \mathbf{r}) \sin (\theta) \tag{2} \label{2} \end{align}$

となる．\eqref{2}はロドリゲスの回転公式であるから，正しく回転を表現している．（確認終）