ロドリゲスの回転公式（パウリ行列による説明）

　パウリ行列は行列といいながら，3成分ベクトルで表される．

$\begin{align} \boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x,\ \sigma_y,\ \sigma_z) \end{align}$

何が行列かというと，ベクトルの各成分が行列である．

$\begin{align} \sigma_x &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\\\ \sigma_y &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \\\\ \sigma_z &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\\\ \end{align}$

ベクトルの成分が行列というのは奇異な感じがするが，python ではリストの要素にリストや辞書を取れることを考えれば不思議なことではない．パウリ行列はクォータニオンと同じはたらきをもたせることができる．クォータニオンの「虚数」単位 $i,\ j,\ k$ に対して

$\begin{align} i\to -i\sigma_x,\ \ j\to -i\sigma_y,\ \ k\to-i\sigma_z \end{align}$

と置き換えればよい．まぎらわしいが，パウリ行列にかかる $-i$ は普通の虚数である．これによりクォータニオンの「虚数」単位 $i,\ j,\ k$ の性質

$\begin{align} ij=k,\ \ jk=i,\ \ ki=j,\ \ i^2=j^2=k^2=-1\end{align}$

はパウリ行列でも維持される．クォータニオン $\breve{\xi}$ は

$\begin{align} \breve{\xi} \to \xi_0 - i \boldsymbol{\xi}\cdot\boldsymbol{\sigma} = \cos\frac{\theta}{2}-i\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma} \sin\frac{\theta}{2} = e^{-i\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma} \ \theta/2} \end{align}$

と置き換わる．ここで， $\xi_0$ の項は正確に書くと $\xi_0$ と2行2列の単位行列 $I$ との積 $\xi_0 I$ である． $\cos(\theta/2)$ の項も同じ． $\mathbf{n}$ は単位ベクトルである．最後の等式は $(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})^2=I$ に注意して指数関数を展開すれば求まる．クォータニオンを使ってロドリゲスの回転公式が導けたので，クォータニオンと同じ演算規則をもつパウリ行列を使っても当然ながら導くことができる．