det A, log det A の微分（その2）

　行列 $A$ が $t$ の関数であるとき，関数 $f(A)$ の $t$ についての微分は

$\begin{align} \frac{df}{dt} = \frac{\partial f(A)}{\partial (A)_{ij}} \frac{d (A)_{ij}}{dt} \label{1} \tag{1} \end{align}$

である． $(A)_{ij}$ は $A$ の $i, j$ 成分で，同じ添え字について和を取るものとする． $f$ として $\det A$ に取れば，前回の結果より

$\begin{align} \frac{d (\det A)}{dt} &= \tilde{a}_{ij} \frac{d(A)_{ij}}{dt} \\\\ &=\det A [(A^{-1})^t]_{ij} \frac{d(A)_{ij}}{dt} = \det A\,\, \textrm{tr} \left( \frac{dA}{dt} A^{-1} \right) \label{2} \tag{2} \end{align}$

を得る．さらに\eqref{2}から

$\begin{align} \frac{d (\ln \det A)}{dt} &= \frac{1}{\det A}\frac{d (\det A)}{dt} = \textrm{tr} \left( \frac{dA}{dt} A^{-1} \right) \label{3} \tag{3} \end{align}$

になる．\eqref{3}は，前々回の式

$\begin{align} \ln (\det A) = \textrm{tr}(\ln A) \end{align}$

の両辺を $t$ で微分することからも得られる．