log det A = tr log A - 河漢の戯言

　正方行列 $A$ に対して

$\begin{align} \ln (\det A) = \textrm{tr} (\ln A) \label{1} \tag{1}\end{align}$

という関係が成り立つ． $A$ は一般的には対角化可能でなくてもよいが，ここでは対角化可能であると仮定する． $B= \ln A$ とおくと， $A = \exp(B)$ であるから，\eqref{1} は

$\begin{align} \ln (\det \exp(B)) &= \textrm{tr}(B) \\\\ \det(\exp(B)) &= \exp(\textrm{tr}(B)) \label{2} \tag{2} \end{align}$

となるので，\eqref{1}を示すには \eqref{2}が成り立つこと示せばよい．

　 $\det$ は固有値の積， $\textrm{tr}$ は固有値の和なので， $B$ の固有値を $\lambda_i$ とすると，もし $\exp(B)$ の固有値が $\exp(\lambda_i)$ であれば，

$\begin{align} \det(\exp(B)) = \prod_i \exp(\lambda_i) = \exp\left( \sum_i \lambda_i \right) = \exp(\textrm{tr}(B)) \end{align}$

となって\eqref{2}が示される．

　そこで $\exp(B)$ の固有値が $\exp(\lambda_i)$ であることを示す．行列 $P$ によって $P^{-1} B P$ が対角行列になるとすると

$\begin{align} (P^{-1}BP)^2 &= P^{-1}BPP^{-1}BP = P^{-1}B^2 P \\\\ (P^{-1}BP)^k &= P^{-1}BP P^{-1}BP \cdots P^{-1}BP =P^{-1}B^k P \end{align}$

なので

$\begin{align} \exp(P^{-1}BP) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (P^{-1}BP)^k = P^{-1} \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} B^k \right) P = P^{-1}\exp(B)P \end{align}$

となる．これは $\exp(B)$ が $P$ によって対角化され，固有値が $\exp(\lambda_i)$ であることを意味する．