アブラハム-ミンコフスキー論争（メモ）

　アブラハム-ミンコフスキー論争とは，物質中の電磁場の運動量をどのように定義すべきかという論争．100年以上にわたって明確な結論は出ていない．以下のメモは

David J. Griffiths, "Resource Letter EM-1: Electromagnetic Momentum", Am. J. Phys. 80, 7 (2012)

に基づく．

　線形物質 $\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}, \mathbf{H}=(1/\mu)\mathbf{B}$ の場合を考える．電磁場のエネルギー密度 $u_m$ とエネルギー流束（ポインティングベクトル） $\mathbf{S}_m$ は

$\begin{align} u_m = \frac{1}{2}(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}) \end{align}$

$\begin{align} \mathbf{S}_m = \mathbf{E}\times\mathbf{H} \end{align}$

で与えられる．一方，（分極を形成する拘束電荷を除いた）自由電荷 $\rho_f$ に単位体積あたりにはたらく力は

$\begin{align} \rho_f\mathbf{E}+\mathbf{J}_f\times\mathbf{B} = \pmb{\nabla}\cdot\mathbb{T}_m-\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{D}\times\mathbf{B}) \tag{1} \label{1} \end{align}$

で与えられ（ $\mathbf{J}_f$ は $\rho_f$ の運動による自由電流）， $\mathbb{T}_m$ は運動量テンソル

$\begin{align} \mathbb{T}_m = \mathbf{E}\mathbf{D}-\frac{\mathbb{I}}{2}(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}) + \mathbf{B}\mathbf{H}-\frac{\mathbb{I}}{2}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}) \end{align}$

で，残りの項

$\begin{align} \mathbf{g}_M = \mathbf{D}\times\mathbf{B} \end{align}$

が運動量密度に相当する（ミンコフスキーの運動量）．この結果，4元エネルギー運動量テンソルは

$\begin{align} (T_M)^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} u_m & \mathbf{S}_m/c \\ c\mathbf{g}_M & -\mathbb{T}_m \end{pmatrix}\end{align}$

となる．

　 $(T_M)^{\mu\nu}$ の非対角項を見ると， $\mathbf{S}_m/c \neq c\mathbf{g}_M$ であり，角運動量を保存しない（連続体力学によれば，角運動量保存のためには応力テンソルが対称テンソルでなければならない）．そこでアブラハムは対称テンソルになるように，運動量密度を

$\begin{align} \mathbf{g}_A = \frac{1}{c^2} \mathbf{E}\times\mathbf{H} \end{align}$

と提案した． $u_m, \mathbf{S}_m, \mathbb{T}_m$ は変えない．この場合\eqref{1}は

$\begin{align} \rho_f\mathbf{E}+\mathbf{J}_f\times\mathbf{B}+\mathbf{f}_A = \pmb{\nabla}\cdot\mathbb{T}_m-\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{g}_A \end{align}$

$\begin{align} \mathbf{f}_A=\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{D}\times\mathbf{B}) \end{align}$

に置き換わる． $\mathbf{f}_A$ をアブラハム力という． $n=\sqrt{\epsilon\mu/\epsilon_0\mu_0}$ は物質の屈折率である．真空中では $n=1$ であるから $\mathbf{f}_A=0$ である．

　物質中の電磁運動量として $\mathbf{g}_M$ と $\mathbf{g}_A$ のどちらであるべきかがアブラハム-ミンコフスキー論争である．理論，実験両面にわたり，ミンコフスキーに賛成する人もいれば、アブラハムに賛成する人もいる．そのような中，1960年代後半からある種のコンセンサスに近いものが生まれてきた．ミンコフスキー運動量とアブラハム運動量の両方が「正しく」、それらは異なる問題を語っており、2つのうちどちらを「真の」電磁運動量と認識するかは好みの問題である，ということである．ポイントはポアンカレがはるか昔に指摘したように，物質が存在する場合に電磁場のエネルギー運動量テンソル自体は保存されない，ということにある．保存するのは電磁場と物質を合わせた全エネルギー運動量テンソルである．そして、エネルギー運動量テンソルをどのように電磁場の部分と物質の部分に振り分けるかは、文脈と問題の利便性に依存する．ミンコフスキーはある方法で、アブラハムは別の方法で、全体の異なる部分を電磁場的とみなしている．真空中を除いて、電磁場の運動量自体は本質的にあいまいな概念である．

　例えば、光が物質を通過するとき、電荷に力を及ぼし、電荷を運動させ、物質に運動量を提供する。これは波に関連したものなので、純粋に力学的なものであっても、その一部または全部を電磁波の運動量に含めることは不合理ではない．しかし、この運動量がどこにどのようにあるのかを正確に把握することは非常に難しい．

　ミンコフスキーとアブラハムの運動量は物理的には一体何を表しているのだろうか．また、文脈によってはどちらか一方が有利になるように見えるのはなぜだろうか．最近Barnettらは、粒子の運動量と正準運動量の違いに関係があることを指摘している．

Stephen M. Barnett, "Resolution of the Abraham-Minkowski Dilemma", Phys. Rev. Lett. 104, 070401 (2010)

アブラハム運動量は前者、ミンコフスキー運動量は後者と関連しており、総和

$\begin{align} \mathbf{p}_{\mathrm{total}} = \mathbf{p}_{\mathrm{kinetic}} + \int d^3r\, \mathbf{g}_A = \mathbf{p}_{\mathrm{canonical}} + \int d^3r\, \mathbf{g}_M \end{align}$

は保存される．つまり，粒子の運動量をどちらに取るかによって，アブラハム運動量かミンコフスキー運動量のどちらかを適切に採用すればよいことになる．しかし現在でもこれが最終的な結論であるとの合意はなされていない．