合流型超幾何関数 その2 （微分方程式の特異点）

特殊関数

　2階微分方程式


\begin{align} y''+P(x) \, y' + Q(x)\, y = 0 \tag{1} \label{1} \end{align}


に存在する特異点


確定特異点： x=x_0 で P(x), Q(x) の少なくとも一方が発散し，かつ (x-x_0)P(x), (x-x_0)^2 Q(x) がどちらも有限のとき， x_0 は確定特異点である．


真性（不確定）特異点： (x-x_0)P(x), (x-x_0)^2 Q(x) の少なくとも一方が x_0 で発散するとき， x_0 は真性（不確定）特異点である．


　無限遠での特異性をみるには， z=x^{-1} と変数変換する． w(z)=y(x)=y(z^{-1}) とおくと


\begin{align} y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy(z^{-1})}{dz}\frac{dz}{dx} = \frac{dw}{dz}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-z^2 w' \end{align}


\begin{align} y''=\frac{dy'}{dz}\frac{dz}{dx}=-z^2\frac{d}{dz}(-z^2 w')=z^4 w'' + 2z^3 w' \end{align}


より，これらを\eqref{1}に代入すると


\begin{align} z^4w'' + [2z^3-z^2 P(z^{-1})]w' + Q(z^{-1})w=0 \end{align}


\begin{align} w'' + \frac{2z-P(z^{-1})}{z^2}w'+\frac{Q(z^{-1})}{z^4}w = 0 \end{align}


となり，この式での z=0 における特異点の有無は x=\infty での特異点の有無に対応する．


　合流型超幾何微分方程式


\begin{align} x y''+ (b-x) y'-ay=0 \tag{2} \label{2} \end{align}


の両辺を x で割ると


\begin{align} y'' + \frac{b-x}{x}y'-\frac{a}{x}y=0 \end{align}


となるので， x=0 は確定特異点である．\eqref{1}に対応して P(x)=(b-x)/x,\ Q(x)=-a/x であるから


\begin{align} \frac{2z-P(z^{-1})}{z^2} = \frac{(2-b)z+1}{z^2}, \quad \frac{Q(z^{-1})}{z^4} = -\frac{a}{z^3} \end{align}


となり， x=\infty は真性特異点である．