合流型超幾何関数その5 （漸近展開1）

　ここで行う漸近展開の方法は次の本による．

J. B. Seaborn, "Hypergeometric Functions and Their Applications", Springer (1991).

　前回の積分表示で引数を複素数に拡張した

$\begin{align} M(a, b, z)= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \int_0^1 dt\, e^{zt} t^{a-1} (1-t)^{b-a-1} \tag{1} \label{1} \end{align}$

から出発する．積分区間を変更して変数変換すると

$\begin{align} M(a, b, z) &= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \bigg[ \int_{-\infty}^1 dt - \int_{-\infty}^0 dt \bigg] e^{zt} t^{a-1} (1-t)^{b-a-1} \\\\ &= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \bigg[ \frac{e^z}{z^{b-a}} \int_0^\infty du\, e^{-u}u^{b-a-1} \left(1-\frac{u}{z}\right)^{a-1} \\\\ &\qquad + \frac{1}{(-z)^a} \int_0^\infty du\, e^{-u}u^{a-1}\left(1+\frac{u}{z}\right)^{b-a-1}\bigg] \tag{2} \label{2} \end{align}$

になる．最後の等式で第1項を $t=1-u/z$ ，第2項を $t=-u/z$ と変数変換した．

　まず $z=|z|$ の場合．\eqref{2}の第1項に $e^z$ があるため， $z$ の大きいところでは第2項に比べて支配的になる．そこで第2項を無視する．第1項のなかで

$\begin{align} \left(1-\frac{u}{z}\right)^{a-1} &= \sum_{j=0}^\infty \begin{pmatrix} a-1 \\ j \end{pmatrix} \frac{u^j}{z^j} \\\\ &= \sum_{j=0}^\infty \frac{(a-j)_j (-1)^j}{j! z^j}u^j \\\\ &= \sum_{j=0}^\infty \frac{(1-a)_j}{j! z^j} u^j \tag{3} \label{3} \end{align}$

と展開すると（ $(1-a)_j$ は上昇階乗べき），

$\begin{align} M(a, b, z)&\sim \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \frac{e^z}{z^{b-a}} \sum_{j=0}^\infty \frac{(1-a)_j}{j! z^j} \int_0^\infty du\, e^{-u}u^{b-a+j-1} \\\\ &= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \frac{e^z}{z^{b-a}} \sum_{j=0}^\infty \frac{(1-a)_j}{j! z^j} \Gamma(b+j-a) \\\\ &= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)} e^z z^{a-b} \sum_{j=0}^\infty \frac{(1-a)_j (b-a)_j }{j!}z^{-j} \tag{4} \label{4} \end{align}$

となる．これはNISTのDLMF 13.7.1式と同じである．(13.7.1に $\Gamma(b)$ をかけたものが $M(a, b, z)$ である．）