合流型超幾何関数その6 （漸近展開2）

　今回は $z=-|z|$ の場合．前回の(2)式を再掲する．

$\begin{align} M(a, b, z) &= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \bigg[ \frac{e^z}{z^{b-a}} \int_0^\infty du\, e^{-u}u^{b-a-1} \left(1-\frac{u}{z}\right)^{a-1} \\\\ &\qquad + \frac{1}{(-z)^a} \int_0^\infty du\, e^{-u}u^{a-1}\left(1+\frac{u}{z}\right)^{b-a-1}\bigg] \tag{1} \label{1} \end{align}$

$z=-|z|$ の場合， $e^z = e^{-|z|}$ であるから，\eqref{1}の第1項は第2項に比べて無視できる．第2項の中で

$\begin{align} \left(1+\frac{u}{z}\right)^{b-a-1} &= \left(1-\frac{u}{|z|}\right)^{b-a-1} = \sum_{j=0}^\infty \frac{(1+a-b)_j}{j! |z|^j} u^j \end{align}$

と変形すると（ $(1+a-b)_j$ は上昇階乗べき），

$\begin{align} M(a, b, z)&\sim \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \frac{1}{|z|^a} \int_0^\infty du\, e^{-u}u^{a-1}\left(1-\frac{u}{|z|}\right)^{b-a-1} \\\\ &= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \frac{1}{|z|^a} \sum_{j=0}^\infty \frac{(1+a-b)_j}{j! |z|^j} \int_0^\infty du\, e^{-u} u^{a+j-1} \\\\ &= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \frac{1}{|z|^a} \sum_{j=0}^\infty \frac{(1+a-b)_j}{j! |z|^j} \Gamma(a+j) \\\\ &= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(b-a)} \frac{1}{|z|^a} \sum_{j=0}^\infty \frac{(a)_j (a-b+1)_j}{j! }|z|^{-j} \tag{2} \label{2} \end{align}$

になる．