部分波展開 - 河漢の戯言

　部分波展開の公式についてのメモ

レイリーの公式

$\begin{align} e^{ikr\, \cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1)\, i^l\, j_l(kr)\, P_l(\cos\theta) \end{align}$

証明
砂川重信，「散乱の量子論」岩波書店 (1977) P248
猪木慶治，川合光，「量子力学 II」講談社サイエンティフィク (1994) P443

球面波型関数の展開公式

$\begin{align} \frac{e^{ik |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = ik \sum_{l=0}^\infty (2l+1)\, j_l(kr_<)\, h_l^{(1)}(kr_>)\, P_l(\cos\theta) \end{align}$

証明
砂川重信，「散乱の量子論」岩波書店 (1977) P249