グラスマン数の複素共役

2種類のグラスマン数 $\eta_a$ と $\eta_b$ の積の複素共役は

$\begin{align} (\eta_a \,\eta_b)^* = \eta_b^* \,\eta_a^* \tag{1} \label{1} \end{align}$

となり， $\eta_a$ と $\eta_b$ の順番が入れ替わっているにもかかわらず，負号がつかない．これは一見すると奇妙で，例えば $\eta_a$ と $\eta_b$ が実グラスマン数の場合，

$\begin{align} (\eta_a \,\eta_b)^* = \eta_b^* \,\eta_a^* = \eta_b\, \eta_a \neq \eta_a\, \eta_b \end{align}$

となり，「実」であるにもかかわらず複素共役が元の値と一致しない．

「公式」\eqref{1} は色々な本に書かれているが，

M.S. スワンソン (著), 青山秀明（訳），川村浩之（訳），和田信也（訳），「経路積分法 -量子力学から場の理論へ-」（吉岡書店，1996）

に詳しい．複素グラスマン数 $\eta_a$ を実グラスマン $\eta_{b},\; \eta_{c}$ で表すと

$\begin{align} \eta_a = \eta_{b}+i \eta_{c} \end{align}$

と書けるので

$\begin{align} \eta_a^* \,\eta_a &= (\eta_{b}-i \eta_{c} ) ( \eta_{b}+i \eta_{c}) \\\\ &= i( \eta_{b}\; \eta_{c} - \eta_{c} \; \eta_{b}) \tag{2} \label{2} \end{align}$

$\begin{align} (\eta_a^* \,\eta_a)^* &=-i\left[ (\eta_{b}\; \eta_{c})^* - (\eta_{c} \; \eta_{b})^* \right] \tag{3} \label{3} \end{align}$

となる．\eqref{1}は，\eqref{2}と\eqref{3}が一致すべし，という条件からきている．すなわち

$\begin{align} (\eta_{b}\; \eta_{c})^* = -\eta_{b}\; \eta_{c} = \eta_{c}\; \eta_{b} \end{align}$

でなければならない．これを使って $\eta_a,\; \eta_b$ が複素グラスマン数の場合を考えると，

$\begin{align} [(\eta_{Ra}+i\eta_{Ia})(\eta_{Rb}+i\eta_{Ib})]^* &= \left[ (\eta_{Ra}\; \eta_{Rb})^* - (\eta_{Ia}\; \eta_{Ib})^* - i(\eta_{Ra}\;\eta_{Ib})^* -i(\eta_{Ia}\;\eta_{Rb})^*\right] \\\\ &= \eta_{Rb}\; \eta_{Ra} - \eta_{Ib}\;\eta_{Ia} -i\eta_{Ib}\;\eta_{Ra} -i \eta_{Rb}\;\eta_{Ia} \\\\ &= (\eta_{Rb}-i\eta_{Ib})(\eta_{Ra}-i\eta_{Ia}) \end{align}$

により\eqref{1}が得られる．