平面の回転行列 2 - 河漢の戯言

　座標軸を固定してベクトルを角度 $\theta$ 回転させるときの回転行列

$\begin{align} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \tag{1} \label{1} \end{align}$

は，複素平面を使うと簡単に導ける．

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図のように点P $(x, y)$ を原点のまわりに角度 $\theta$ 回転させ，点P' $(x', y')$ になったとする．点Pの位置を複素平面を使って $x+ i y = r e^{i\varphi}$ と表し，点P'の位置を $x'+iy' = r e^{i(\varphi+\theta)}$ と表す．すると

$\begin{align} x'+iy' &= r e^{i(\varphi+\theta)} = r e^{i\varphi} (\cos\theta+i\sin\theta) \\ &= (x+iy) (\cos\theta+i\sin\theta) \\ &= (x\cos\theta - y\sin\theta) + i(x\sin\theta+y\cos\theta) \end{align}$

となるので

$\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$

であることがわかる．