計測における誤差解析入門（その21） 5-10, 5-12, 5-14, 5-16

John R. Taylor「計測における誤差解析入門」の読書メモ

5.10

$f(x)$ は確率密度関数なので，関数 $g(x)$ の期待値は

$\begin{align} \bar{g}=\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)dx \end{align}$

で与えられる．標準偏差の2乗は $(x-\bar{x})^2$ の期待値なので，(5.16)式で与えられる．

5.12

$f_{\textrm{max}}=1/(\sqrt{2\pi}\sigma)$ であるから，

$\begin{align} G_{0,\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2\sigma^2}=\frac{f_{\textrm{max}}}{2}=\frac{1}{2\sigma\sqrt{2\pi}} \end{align}$

となる $x$ がHWHMに相当する．

$\begin{align} e^{-x^2/2\sigma^2} = \frac{1}{2},\ -\frac{x^2}{2\sigma^2}=-\ln 2,\ x=\sigma \sqrt{2\ln 2} \end{align}$

FWHMはこの2倍なので， $2\sigma\sqrt{2\ln 2}$ になる．

5.14

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(a)と(b)は中心が $x=0$ であり，(a)のほうが幅が小さい．(c)は中心が $x=5$ で，幅が(a)と同じである．

5.16

$\begin{align} G'_{X, \sigma}(x)=\frac{dG_{X,\sigma}(x)}{dx}=-\frac{x-\bar{x}}{\sigma^2}G_{X, \sigma}(x) \end{align}$

に注意する．

$\begin{align} \sigma_x^2 &= \int (x-\bar{x})^2 G_{X, \sigma}(x) dx\\\\ &= -\sigma^2 \int (x-\bar{x}) G'_{X, \sigma}(x) dx \\\\ &= -\sigma^2 (x-\bar{x}) G_{X, \sigma}(x) \bigg|_{-\infty}^\infty + \sigma^2 \int G_{X, \sigma}(x) dx = \sigma^2 \end{align}$

3段目最初の式の第1項は0，第2項の積分は1になることを使った．