計測における誤差解析入門（その42） 12-16, 12-17

John R. Taylor「計測における誤差解析入門」の読書メモ

12.16

(a) $E_k = 40 P_2(\nu=k-1)$ より， $E_1=5.41, E_2=10.8, E_3=10.8$ であり， $\nu=3$ 以上は $E_4 = 40(1-P_2(0)-P_2(1)-P_2(2))=40\times 0.3233=12.9$ となる．これから， $\chi^2=9.6$ となり，制約条件は40人の1つであるから，自由度は $d=4-1=3$ である．よって $\tilde{\chi}^2=3.2$ となる. P295の表から，このときの確率は約2%であり，5%水準でポアソン分布にしたがうという仮説は棄却される．

(b) $E_k = 40 P_{1.35}(\nu=k-1)$ より， $E_1=10.4, E_2=14.0, E_3=9.45$ であり， $\nu=3$ 以上は $E_4 = 40(1-P_{1.35}(0)-P_{1.35}(1)-P_{1.35}(2))=40\times 0.1545=6.18$ となる．これから， $\chi^2=0.58$ となり，制約条件は40人と平均値の2つであるから，自由度は $d=4-2=2$ である．よって $\tilde{\chi}^2=0.29$ となる. P295の表から，このときの確率は60%以上であり，ポアソン分布にしたがうという仮説と矛盾しない．

12.17

(a) 期待値が8人に対し，観測値は11人であるから

$\begin{align} \chi^2 = \frac{(11-8)^2}{8}+\frac{(5-8)^2}{8}=2.25 \end{align}$

二項分布による計算では

$\begin{align} \sum_{\nu=1}^5 B_{16, 1/2}(\nu) + \sum_{\nu=11}^{16} B_{16, 1/2}(\nu) = 0.210 \end{align}$

となる．

(b) 期待値が200人に対し，観測値は225人であるから

$\begin{align} \chi^2 = \frac{(225-200)^2}{200}+\frac{(175-200)^2}{200}=6.25 \end{align}$

平均値200, 標準偏差10のガウス近似を使うと， $225-200=25$ は2.5倍の標準偏差であるから，P289の表より確率1.24%となる．

(c) 調整カイ二乗はイェイツの修正とも言われる．Wikipediaによると批判もあるらしい．

$\begin{align} \chi^2 = \frac{(11-8-0.5)^2}{8}+\frac{(8-5-0.5)^2}{8}=1.56 \end{align}$

　とりあえず最後まできた．第2版まえがきによると全部で264題あるそうで，読者は半分やるだけでも十分である，と書いてある．一方で初版のまえがきを読むと，3分の1やれば十分と書いてある．第2版は初版よりも問題数が2倍になったらしいので，第2版の半分の量は初版の量の3分の1に比べると3倍の量になり，どう考えても矛盾している．それはともかく，何らかの計測をしようとする人には是非ともおすすめできる．