計測における誤差解析入門（その32） 9-2, (9-3), 9-4, 9-6, (9-7)

John R. Taylor「計測における誤差解析入門」の読書メモ

9章では本文に従い母集団分散，母集団標準偏差を使う．

9.2

$\bar{t}=14, \bar{T}=20, \sigma_{tT}=2.4$

9.3

解答には $\sigma_{xy}^2$ と書いてあるが， $\sigma_{xy}$ の誤り．

9.4

(a) $\sigma_t^2=2.0, \sigma_T^2=3.2, \sigma_{tT}=2.4$

(b) $\sigma_q^2 = \sigma_t^2+\sigma_T^2-2\sigma_{tT}=0.4$

(c) $\sigma_t^2+\sigma_T^2=5.2$

(d) $T-t=6, 6, 5, 7, 6$ となり，標準偏差は0.4になる．

9.6

$\pi^+, \pi^-$ の軌跡ははっきりしているので，それらの間の角度 $\alpha+\beta$ もはっきりと決まる． $\alpha+\beta$ は固定されているから， $\alpha$ を大きく見積もりすぎると $\beta$ は小さく見積もりすぎることになる．

$\alpha, \beta$ の真の値を $\alpha_{\textrm{true}}, \beta_{\textrm{true}}$ とする． $i$ 番目の学生が引いた直線ABは真の直線から $\Delta_i$ だけ右にずれていたとすると， $\alpha, \beta$ の測定値は $\alpha_i=\alpha_{\textrm{true}}+\Delta_i$ , $\beta_i=\beta_{\textrm{true}}-\Delta_i$ になる．よって

$\begin{align} \bar{\alpha}=\alpha_{\textrm{true}}+\bar{\Delta},\ \bar{\beta}=\beta_{\textrm{true}}-\bar{\Delta} \end{align}$

$\begin{align} \sigma_\alpha^2 = \frac{1}{N} \sum (\alpha_i-\bar{\alpha})^2=\frac{1}{N}\sum (\Delta_i-\bar{\Delta})^2 \end{align}$

$\begin{align} \sigma_\beta^2 = \frac{1}{N} \sum (\beta_i-\bar{\beta})^2=\frac{1}{N}\sum (-\Delta_i+\bar{\Delta})^2 \end{align}$

となるので $\sigma_\alpha^2=\sigma_\beta^2$ である．また

$\begin{align} \sigma_{\alpha\beta}&=\frac{1}{N}\sum (\alpha_i-\bar{\alpha})(\beta_i-\bar{\beta}) =\frac{1}{N}\sum (\Delta_i-\bar{\Delta})(-\Delta_i+\bar{\Delta}) \\\\ &= -\frac{1}{N} \sum (\Delta_i-\bar{\Delta})^2 = -\sigma_\alpha^2 =-\sigma_\beta^2 = -\sigma_\alpha \sigma_\beta \end{align}$