河漢の戯言

計測における誤差解析入門（その31） 8-22, 8-24, 8-25, 8-26

計測における誤差解析入門

John R. Taylor「計測における誤差解析入門」の読書メモ

8.22

$\sum t =0, \sum y = 391, \sum t^2=10, \sum t^3=0, \sum t^4=34$ ,
$\sum ty=-310, \sum t^2y=716$

これから(8.27)は

$\begin{align} 5A +10 C &= 391 \\\\ 10B &= -310 \\\\ 10A +34C &= 716 \end{align}$

となるので

$\begin{align} A = \frac{3067}{35}=87.6,\ B= -31,\ C = -\frac{33}{7}=-4.71 \end{align}$

$\begin{align} y_0 = 88 \mathrm{\,cm},\ v_0 = -310 \mathrm{\,cm/s},\ g = -2C = 942 \mathrm{\,cm/s}^2 \end{align}$

になる． $t$ の単位が0.1秒であることに注意．

8.24

$\sum f^2=2.201, \sum g^2=2.799$ ,
$\sum fg = 0, \sum yf=12.18, \sum yg=31.06$

(8.41)より

$\begin{align} 2.201 A &= 12.18\\\\ 2.799 B &= 31.06 \end{align}$

よって

$\begin{align} A=5.53, \quad B=11.1 \end{align}$

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$y$ 値が数cmの誤差をもっている場合でも，すべての誤差が同じ大きさであればこれがベストフィット曲線であることは変わらない．

8.25

$\sum t=150, \sum \ln\nu=27.45, \sum t^2=5500, \sum t\ln\nu=801.4$

$\Delta = 5\cdot5500-150^2=5000$

$\begin{align} A = \ln \nu_0 = \frac{5500\cdot27.45-150*801.4}{5000}=6.153 \end{align}$

$\begin{align} B = -\frac{1}{\tau} = \frac{5\cdot801.4-150\cdot 27.45}{5000}=-0.0222 \end{align}$

これから， $\tau=45.1$ 分， $\nu_0=470$ になる．

ちなみに， $\sum \ln\nu=27.5, \sum t\ln\nu=801$ で $\nu_0$ を計算すると502になる．

8.26

(a) $\nu_i$ の誤差が $1/\sqrt{\nu_i}$ ，とあるが， $z_i$ の誤差の間違い．

$\begin{align} \ln (\nu_i\pm \sqrt{\nu_i})=\ln \nu_i \pm \frac{d\ln \nu_i}{d\nu_i}\sqrt{\nu_i}=\ln \nu_i \pm \frac{\sqrt{\nu_i}}{\nu_i} =\ln \nu_i \pm\frac{1}{\sqrt{\nu_i}} \end{align}$

(b) $x_i=t_i, y_i=\ln \nu_i, w_i = \nu_i$ とおく．

$\sum x=510, \sum w=309, \sum y=20.67, \sum wx=14040, \sum wy=1327.5$ ,
$\sum wx^2=1046400, \sum wxy=53380$

これらから， $\Delta=126216000, A=5.068, B=-0.01699, \sigma_A=0.09105, \sigma_B=0.001565$ を得る．

$\begin{align} \tau = -\frac{1}{B\pm\sigma_B}=-\frac{1}{B}\pm\frac{\sigma_B}{B^2}=58\pm5 \end{align}$

(c)

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直線はエラーバーから外れていることもあるが，おおむねあっているので指数関数的に減少しているといえる．