計測における誤差解析入門（その29） 8-9, 8-10, 8-12, 8-14

John R. Taylor「計測における誤差解析入門」の読書メモ

(8.3)は

$\begin{align} \mathcal{P}(y_i)\propto \frac{1}{\sigma_i} e^{-(y_i-A-Bx_i)^2/2\sigma_i^2} \end{align}$

に変わる．(8.4), (8.5)は

$\begin{align} \mathcal{P}(y_1, \cdots, y_N) \propto \frac{1}{\prod \sigma_i} e^{-\chi^2/2}\end{align}$

$\begin{align} \chi^2 = \sum \left( \frac{y_i-A-Bx_i}{\sigma_i}\right)^2 \end{align}$

に変わる．これから

$\begin{align} \frac{\partial \chi^2}{\partial A} = -2\sum \frac{y_i-A-Bx_i}{\sigma_i} = -2 \sum [w_i(y_i-A-Bx_i)]=0 \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial \chi^2}{\partial B} = -2\sum \frac{x_i(y_i-A-Bx_i)}{\sigma_i} = -2 \sum [w_i x_i(y_i-A-Bx_i)]=0 \end{align}$

となるので $(w_i=1/\sigma_i^2)$ ,

$\begin{align} A\sum w + B\sum wx = \sum wy \end{align}$

$\begin{align} A\sum wx + B \sum wx^2 = \sum wxy\end{align}$

となる．これを $A, B$ について解くと

$\begin{align} A = \frac{\sum wx^2 \sum wy-\sum wx \sum wxy}{\Delta} \end{align}$

$\begin{align} B = \frac{\sum w\sum wxy-\sum wx \sum wy}{\Delta}\end{align}$

$\begin{align} \Delta = \sum w \sum wx^2 -\left( \sum wx\right)^2\end{align}$

になる．

$\sum w=9, \sum wx =15, \sum wy = 22, \sum wx^2=29, \sum wxy=38$

$\Delta = 9\cdot29 - 15^2 = 36$

$\begin{align} A = \frac{29\cdot22 - 15\cdot 38}{36}=1.89,\ B = \frac{9\cdot 38-15\cdot22}{36}=0.33 \end{align}$

重みが同じとき，

$\sum x = 6, \sum y = 7, \sum x^2=14, \sum xy = 14$

$\Delta =3\cdot 14-6^2 =6$

$\begin{align} A = \frac{14\cdot 7-6\cdot 14}{6}=2.33,\ B = \frac{3\cdot 14-6\cdot 7}{6}=0 \end{align}$

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赤が重みつき、青が重みなしである。重みつきでは最初の2点に引きずられ正の傾きをもつ．重みなしでは(1,2)と(3.2)のy座標が同じなのでx軸に平行な直線になっている．

(8.4)を $\sigma_y$ で微分する．

$\begin{align} \frac{1}{\sigma_y^{N+3}}\left[ \sum (y_i-A-Bx_i)^2- N\sigma_y^2\right]e^{-\chi^2/2} \end{align}$

これが0になるのは，大括弧内が0になることなので，

$\begin{align} \sigma_y^2 = \frac{1}{N}\sum (y_i-A-Bx_i)^2 \end{align}$

となり，(8.14)を得る．

8.8 (b)より $v$ の最良推定値は5.15になる. (8.15)を使うと $\sigma_s = 1.74$ となるので，(8.17)より

$\begin{align} \sigma_v = \sigma_s \sqrt{\frac{5}{200}}=0.28 \end{align}$